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2016秋期初三數(shù)學(xué)上冊(cè)半期檢測(cè)試卷
勤奮是我們一直推舉的學(xué)習(xí)方法。下面是小編整理的2016秋期初三數(shù)學(xué)上冊(cè)半期檢測(cè)試卷，歡迎大家試做。
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分，每題只有一個(gè)正確答案)
1.用配方法解方程x 2﹣2x﹣2=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為( )
A.(x+1)2=3 B.(x+2)2=6 C.(x﹣1)2=3 D.(x﹣2)2=6
2.在等腰三角形中，有兩條邊的長(zhǎng)度是方程x2﹣9x+18=0的根，那么它的周長(zhǎng)是( )
A.12 B.15 C.12或15 D.9
3.下列說(shuō)法中，正確的是( )
A.同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧
B.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧
C.兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
D.三角形的外心到三角形各邊的距離相等
4.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周長(zhǎng)是16，面積是12，那么△DEF的周長(zhǎng)、面積依次為( )
A.8，3 B.8，6 C.4，3 D.4，6
5.已知關(guān)于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一個(gè)解為0，則m的值為( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.0
6.如圖，在△A BC中，∠A=70°.⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，則∠BOC的度數(shù)為( )
A.160° B.135° C.125° D.110°
7.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，按A→B→C的方向在AB和BC上移動(dòng)，記PA=x，點(diǎn)D到直線PA的距離為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )
A. B. C. D.
8.如圖，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣2，1)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是( )
A.( ，3)、(﹣ ，4) B.( )、(﹣ ) C.( )、(﹣ ) D.( )、(﹣ )
二、填空題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
9.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的兩根分別為x1，x2，則x1•x2=__________.
10.頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，已知AB=1，則DE=__________.
11.某種襯衣的價(jià)格經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，由每件150元降至96元，平均每次降價(jià)的百分率是__________.
12.直徑為10cm的⊙O中，弦AB=5cm，則弦AB所對(duì)的圓周角是__________.
13.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“*”：a*b= ，例如：4*2，因?yàn)?>2，所以4*2=42﹣4×2=8.若x1、x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的兩個(gè)根，那么x1*x2=__________.
14.在同一時(shí)刻兩根木竿在太陽(yáng)光下的影子如圖所示，其中木 竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，PM=1.2m，MN=0.8m，則木竿PQ的長(zhǎng)度為__________m.
15.如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm.以BC上一點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)，且∠AOD=90°，則圓心O到弦AD的距離是__________cm.
16.如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，點(diǎn)F是△ABC的重心(即點(diǎn)F是△ABC的兩條中線AD、BE的交點(diǎn))，BF=6，則DF=__________.
17.如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，M、N是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是__________.
18.如圖，已知△ABC是面積為 的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點(diǎn)F，則△AEF的面積等于__________(結(jié)果保留根號(hào)).
三、解答題(本大題共10小題，共96分)
19.解方程：
(1)(2x﹣3)2﹣x2=0
(2)3x2+5x+1=0.
20.如圖，已知D、E分別是△ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，若∠A=35°，∠C=85°，∠ADE=60°
(1)請(qǐng)說(shuō)明：△ADE∽△ABC;
(2)若AD=8，AE=6，BE=10，求AC的長(zhǎng).
21.已知|a﹣b+1|與 是互為相反數(shù)，且關(guān)于x的方程kx2+ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.
22.已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度).
(1)畫出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是__________;
(2)以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點(diǎn)C2的坐標(biāo)是__________;
(3)△A2B2C2的面積是__________平方單位.
23.如圖，某農(nóng)場(chǎng)老板準(zhǔn)備建造一個(gè)矩形羊圈ABCD，他打算讓矩形羊圈的一面完全靠著墻MN，墻MN可利用的長(zhǎng)度為25m，另外三面用長(zhǎng)度為50m的籬笆圍成(籬笆正 好要全部用完，且不考慮接頭的部分)
(1)若要使矩形羊圈的面積為300m2，則垂直于墻的一邊長(zhǎng)AB為多少米?
(2)農(nóng)場(chǎng)老板又想將羊圈ABCD的面積重新建造成面積為320m2，從而可以養(yǎng)更多的羊，請(qǐng)聰明的你告訴他：他的這個(gè)想法能實(shí)現(xiàn)嗎?為什么?
24.探究一：如圖，正△ABC中，E為AB邊上任一點(diǎn)，△CDE為正三角形，連接AD，猜想AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
探究二：如圖，若△ABC為任意等腰三角形，AB=AC，E為AB上任一點(diǎn)，△CDE為等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，連接AD，猜想AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
25.有一種可食用的野生菌，剛上市時(shí)，外商李經(jīng)理以每千克30元的市場(chǎng)價(jià)格收購(gòu)了這種野生菌1000千克存放入冷庫(kù)中，據(jù)預(yù)測(cè)，該野生菌的市場(chǎng)價(jià)格將每天每千克上漲1元;但冷凍存放這批野生菌時(shí)每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)310元，而且這種野生菌在冷庫(kù)中最多保存140天，同時(shí)，平均每天有3千克的野生菌損壞導(dǎo)致不能出售.
(1)若存放x天后，將這批野生菌一次性出售，設(shè)這批野生菌的銷售總額為P元，試求出P與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)李經(jīng)理將這批野生菌存放多少天后一次性全部出售可以獲得22500元的利潤(rùn)?
26.已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD.
(1)求證：∠DAC=∠DBA;
(2)求證：P是線段AF的中點(diǎn);
(3)連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長(zhǎng).
27.閱讀理解：
如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合)，分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn);如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn).解決問(wèn)題：
(1)如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說(shuō)明理由;
(2)如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)的格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E;
拓展探究：
(3)如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處.若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.
28.如圖，以點(diǎn)P(﹣1，0)為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)(B在C的左側(cè))，交y軸于A、D兩點(diǎn)(A在D的下方)，AD=2 ，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，得到△MCB.
(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)動(dòng)直線l從與BM重合的位置開始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線l與CM交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，連接MQ、QG.請(qǐng)問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小是否變化?若不變，求出∠MQG的度數(shù);若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.
答案
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分，每題只有一個(gè)正確答案)
1.用配方法解方程x2﹣2x﹣2=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為( )
A.(x+1)2=3 B.(x+2)2=6 C.(x﹣1)2=3 D.(x﹣2)2=6
考點(diǎn)：解一元二次方程-配方法.
專題：計(jì)算題.
分析：配方法的一般步驟：
(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊;
(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;
(3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.
解答： 解：x2﹣2x﹣2=0
移項(xiàng)，得：x2﹣2x=2，
配方：x2﹣2x+1=3，
即(x﹣1)2=3.
故選C.
點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用.選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).
2.在等腰三角形中，有兩條邊的長(zhǎng)度是方程x2﹣9x+18=0的根，那么它的周長(zhǎng)是( )
A.12 B.15 C.12或15 D.9
考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法;三角形三邊關(guān)系;等腰三角形的性質(zhì).
分析：先求出方程的解，再判斷是否符合三角形三邊關(guān)系定理，最后把符合的求出即可.
解答： 解：x2﹣9x+18=0，
(x﹣3)(x﹣6)=0，
x﹣3=0，x﹣6=0，
x1=3，x2=6，
�、俚妊切蔚娜厼�3，3，6，
∵3+3=6，
∴不符合三角形三邊關(guān)系定理，舍去;
�、诘妊切蔚娜厼�3，6，6，此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長(zhǎng)是3+6+6=15;
故選B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)，解一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出三角形三邊長(zhǎng).
3.下列說(shuō)法中，正確的是( )
A.同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧
B.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧
C.兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
D.三角形的外心到三角形各邊的距離相等
考點(diǎn)：命題與定理.
分析：根據(jù)等弧的定義對(duì)A、B進(jìn)行判斷;根據(jù)平行線分線段成比例定理對(duì)C進(jìn)行判斷;根據(jù)三角形外心的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷.
解答： 解：A、如果弦不是直徑，那么同一條弦所對(duì)的兩條弧一條是優(yōu)弧，另外一條是劣弧，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，故本選項(xiàng)正確;
D、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等弧的定義，平行線分線段成比例定理，三角形的外接圓與外心等知識(shí)，熟練掌握定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周長(zhǎng)是16，面積是12，那么△DEF的周長(zhǎng)、面積依次為( )
A.8，3 B.8，6 C.4，3 D.4，6
考點(diǎn)：等腰三角形的判定;相似三角形的判定與性質(zhì).
分析：根據(jù)已知可證△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比為2，再根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方即可求△DEF的周長(zhǎng)、面積.
解答： 解：因?yàn)樵凇鰽BC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，
∴ =2，
又∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比為2，
∵△ABC的周長(zhǎng)是16，面積是12，
∴△DEF的周長(zhǎng)為16÷2=8，面積為12÷4=3，
故選A.
點(diǎn)評(píng)：本題難度中等，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
5.已知關(guān)于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一個(gè)解為0，則m的值為( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.0
考點(diǎn)：一元二次方程的解;一元二次方程的定義.
分析：把x=0代入方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0中，解關(guān)于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為0.
解答： 解：把x=0代入方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0中，得
m2﹣4=0，
解得m=﹣2或2，
當(dāng)m=2時(shí)，原方程二次項(xiàng)系數(shù)m﹣2=0，舍去，
故選B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程解的定義.能使方程成立的未知數(shù)的值，就是方程的解，同時(shí)，考查了一元二次方程的概念.
6.如圖，在△ABC中，∠A=70°.⊙O截△ABC的三條邊 所得的弦長(zhǎng)相等，則∠BOC的度數(shù)為( )
A.160° B.135° C.125° D.110°
考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;角平分線的性質(zhì);垂徑定理.
分析：先利用⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，得出即O是△ABC的內(nèi)心，從而，∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)一步求出∠BOC的度數(shù).
解答： 解：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，
∴O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內(nèi)心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3= (180°﹣∠A)= (180°﹣70°)=55°，
∴∠BOC=180°﹣(∠1+∠3)=180°﹣55°=125°.
故選C.
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形的內(nèi)心，及三角形內(nèi)角和定理，比較簡(jiǎn)單.
7.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，按A→B→C的方向在AB和BC上移動(dòng)，記PA=x，點(diǎn)D到直線PA的距離為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.
專題：壓軸題;動(dòng)點(diǎn)型.
分析：①點(diǎn)P在AB上時(shí)，點(diǎn)D到AP的距離為AD的長(zhǎng)度，②點(diǎn)P在BC上時(shí)，根據(jù)同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，從而得解.
解答： 解：①點(diǎn)P在AB上時(shí)，0≤x≤3，點(diǎn)D到AP的距離為AD的長(zhǎng)度，是定值4;
�、邳c(diǎn)P在BC上時(shí)，3
∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴ = ，
即 = ，
∴y= ，
縱觀各選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)圖形符合.
故選：B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)圖象，主要利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于根據(jù)點(diǎn)P的位置分兩種情況討論.
8.如圖，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣2，1)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是( )
A.( ，3)、(﹣ ，4) B.( )、(﹣ ) C.( )、(﹣ ) D.( )、(﹣ )
考點(diǎn)：矩形的性質(zhì);坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
分析：首先過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥y軸，過(guò)點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案.
解答： 解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥y軸，過(guò)點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F，延長(zhǎng)CA交x軸于點(diǎn)H，
∵四邊形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE(AAS)，
∴BE=CF=4﹣1=3，
∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠OBE，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴ = ，
即 = ，
∴OE= ，
即點(diǎn)B( ，3)，
∴AF=OE= ，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：﹣(2﹣ )=﹣ ，
∴點(diǎn)C(﹣ ，4).
故選D.
點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
二、填空題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
9.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的兩根分別為x1，x2，則x1•x2=﹣3.
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.
分析：直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.
解答： 解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的兩根分別為x1，x2，
∴x1•x2=﹣3.
故答案為﹣3.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，x1+x2=﹣p，x1x2=q.
10.頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，已知AB=1，則DE= .
考點(diǎn)：黃金分割.
專題：壓軸題.
分析：根據(jù)相似比求解.
解答： 解：∵△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，AB=1
∴AB=AC，AD=BD=BC，DE=BE=CD，DE∥AB
∴設(shè)DE=x，則CD=BE=x，AD=BC=1﹣x，
∴EC=BC﹣BE=1﹣x﹣x=1﹣2x
∴
解得：DE= .
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的性質(zhì)與方程思想，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等;解題時(shí)要注意方程思想的應(yīng)用.
11.某種襯衣的價(jià)格經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，由每件150元降至96元，平均每次降價(jià)的百分率是20%.
考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用.
專題：增長(zhǎng)率問(wèn)題;壓軸題.
分析：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，(1﹣x)2為兩次降價(jià)的百分率，150降至96就是方程的平衡條件，列出方程求解即可.
解答： 解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x.
150×(1﹣x)2=96
x=20%或180%(180%不符合題意，舍去)
答：平均每次降價(jià)的百分率為20%.
點(diǎn)評(píng)：一元二次方程應(yīng)用的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價(jià)格問(wèn)題主要解決價(jià)格變化前后的平衡關(guān)系，列出方程，解答即可.
12.直徑為10cm的⊙O中，弦AB=5cm，則弦AB所對(duì)的圓周角是30°或150°.
考點(diǎn)：圓周角定理;含30度角的直角三角形;垂徑定理.
專題：分類討論.
分析：連接OA、OB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)圓周定理求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠D的度數(shù).
解答： 解：連接OA、OB，
∵AB=OB=OA，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=30°，
∴∠D=180°﹣30°=150°.
故答案為：30°或150°.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
13.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“*”：a*b= ，例如：4*2，因?yàn)?>2，所以4*2=42﹣4×2=8.若x1、x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的兩個(gè)根，那么x1*x2=±24.
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.
專題：新定義.
分析：首先解方程x2﹣8x+12=0，再根據(jù)a*b= ，求出x1﹡x2的值即可.
解答： 解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的兩個(gè)根，
∴(x﹣2)(x﹣6)=0，
解得：x=2或6，
①當(dāng)x1=2，x2=6時(shí)，x1﹡x2=2×6﹣62=﹣24;
②當(dāng)x1=6，x2=2時(shí)，x1﹡x2=62﹣6×2=24.
故答案為：±24.
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解決新問(wèn)題，根據(jù)已知進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵.
14.在同一時(shí)刻兩根木竿在太陽(yáng)光下的影子如圖所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，PM=1.2m，MN=0.8m，則木竿PQ的長(zhǎng)度為2.3m.
考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用.
專題：幾何圖形問(wèn)題.
分析：先根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比求出QD的影長(zhǎng)，再根據(jù)此影長(zhǎng)列出比例式即可.
解答： 解：解：過(guò)N點(diǎn)作ND⊥PQ于D，
∴ ，
又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，
∴QD= =1.5，
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3(m).
故答案為：2.3.
點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)用相似三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要能夠從實(shí)際問(wèn)題中抽象出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，然后列出相關(guān)數(shù)據(jù)的比例關(guān)系式，從而求出結(jié)論.
15.如圖，在梯形ABCD中， AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm.以BC上一點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)，且∠AOD=90°，則圓心O到弦AD的距離是 cm.
考點(diǎn)：垂徑定理;直角三角形全等的判定;等腰三角形的性質(zhì);等腰三角形的判定;勾股定理;矩形的判定;直角梯形.
專題：壓軸題.
分析：本題的綜合性質(zhì)較強(qiáng)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角梯形的性質(zhì)可知.
解答： 解：如圖，作AE⊥CD，垂足為E，OF⊥AD，垂足為F，
則四邊形AECB是矩形，
CE=AB=2cm，DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm，
∵∠AOD=90°，AO=OD，
所以△AOD是等腰直角三角形，
AO=OD，∠OAD=∠ADO=45°，BO=CD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°
∴∠ODC+∠OAB=90°，
∵∠ODC+∠DOC=90°，
∴∠DOC=∠BAO，
∵∠B=∠C=90°
∴△ABO≌△OCD，
∴OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm，
由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，
得AD=2 cm，
∴AO=OD=2 cm，
S△AOD= AO•DO= AD•OF，
∴OF= cm.
點(diǎn)評(píng)：本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角梯形的性質(zhì)求解.
16.如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，點(diǎn)F是△ABC的重心(即點(diǎn)F是△ABC的兩條中線AD、BE的交點(diǎn))，BF=6，則DF= .
考點(diǎn)：三角形的重心.
分析：根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的一半求出EF，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AE，BE⊥AC，然后利用利用勾股定理列式求出AF，再次利用三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的一半求解即可.
解答： 解：∵點(diǎn)F是△ABC的重心，
∴EF= BF= ×6=3，
∵AB=BC，BE是中線，
∴AE= AC= ×8=4，BE⊥AC，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF= = =5，
∴DF= AF= .
故答案為： .
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的重心，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，熟記三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的一半是解題的關(guān)鍵，此內(nèi)容已經(jīng)不作要求，此題可斟酌使用.
17.如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，M、N是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是4 .
考點(diǎn)：垂徑定理;圓周角定理.
專題：壓軸題.
分析：過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，根據(jù)圓周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，則△OAB為等腰直角三角形，所以AB= OA=2 ，由于S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，而當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大;當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，即M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，所以四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB= AB•CD+ AB•CE= AB(CD+CE)= AB•DE= ×2 ×4=4 .
解答： 解：過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB= OA=2 ，
∵S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大;當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，
即M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，
此時(shí)四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB= AB•CD+ AB•CE= AB(CD+CE)= AB•DE= ×2 ×4=4 .
故答案為：4 .
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.也考查了圓周角定理.
18.如圖，已知△ABC是面積為 的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點(diǎn)F，則△AEF的面積等于 (結(jié)果保留根號(hào)) .
考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
專題：計(jì)算題.
分析：根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，再根據(jù)求出其邊長(zhǎng)，可根據(jù)三角函數(shù)得出三角形面積.
解答： 解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，
∴ = ，
∵AB=2AD，S△ABC= ，
∴S△ADE= ，
如圖，在△EAF中，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF=∠BAD=45°，∠AEF=60°，
∴∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
設(shè)AH=HF=x，則EH=xtan30°= x.
又∵S△ADE= ，
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面積為 的等邊三角形，
∴ ×AB×CM= ，
∠BCM=30°，
設(shè)AB=2k，BM=k，CM= k，
∴k=1，AB=2，
∴AE= AB=1，
∴x+ x=1，
解得x= = .
∴S△AEF= ×1× = .
故答案為： .
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解得此題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的 面積，然后問(wèn)題可解.
三、解答題(本大題共10小題，共96分)
19.解方程：
(1)(2x﹣3)2﹣x2=0
(2)3x2+5x+1=0.
考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法.
專題：計(jì)算題.
分析：(1)利用因式分解法解方程;
(2)先計(jì)算判別式的值，然后利用求根公式解方程.
解 答： 解：(1)(2x﹣3﹣x)(2x﹣3+x)=0，
2x﹣3﹣x=0或2x﹣3+x=0，
所以x1=3，x2=1;
(2)△=25﹣4×3=13，
x= ，
所以x1= ，x2= .
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).也考查了公式法解一元二次方程.
20.如圖，已知D、E分別是△ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，若∠A=35°，∠C=85°，∠ADE=60°
(1)請(qǐng)說(shuō)明：△ADE∽△ABC;
(2)若AD=8，AE=6，BE=10，求AC的長(zhǎng).
考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).
分析：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B，推出∠B=∠ADE，根據(jù)相似三角形的判定得出即可;
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出即可.
解答： 解：(1)∵∠A=35°，∠C=85°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠B=∠ADE，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC;
(2)∵△ADE∽△ABC，
∴ = ，
∵AD=8，AE=6，BE=10，
∴ = ，
∴AC=12.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能推出△ADE∽△ABC是解此題的關(guān)鍵.
21.已知|a﹣b+1|與 是互為相反數(shù)，且關(guān)于x的方程kx 2+ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.
考點(diǎn)：根的判別式;非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值;非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根.
專題：計(jì)算題.
分析：先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a﹣b+1=0，a﹣2b+4=0，可求出a=﹣2，b=﹣1，則原方程變形為kx2+﹣2x﹣1=0，然后根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△=(﹣2)2﹣4k×(﹣1)>0，再求出兩不等式的公共部分即可.
解答： 解：∵|a﹣b+1|+ =0，
∴a﹣b+1=0，a﹣2b+4=0，
∴a=﹣2，b=﹣1，
原方程變形為kx2+﹣2x﹣1=0，
根據(jù)題意得k≠0且△=(﹣2)2﹣4k×(﹣1)>0，
解得k>﹣1且k≠0.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì).
22.已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度).
(1)畫出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是(2，﹣2);
(2)以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點(diǎn)C2的坐標(biāo)是(1，0);
(3)△A2B2C2的面積是10平方單位.
考點(diǎn)：作圖-位似變換;作圖-平移變換.
專題：作圖題.
分析：(1)利用平移的性質(zhì)得出平移后圖象進(jìn)而得出答案;
(2)利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置即可;
(3)利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△A2B2C2的面積.
解答： 解：(1)如圖所示：C1(2，﹣2);
故答案為：(2，﹣2);
(2)如圖所示：C2(1，0);
故答案為：(1，0);
(3)∵A2C22=20，B2C =20，A2B2 =40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面積是： ×20=10平方單位.
故答案為：10.
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)和三角形面積求法等知識(shí)，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
23.如圖，某農(nóng)場(chǎng)老板準(zhǔn)備建造一個(gè)矩形羊圈ABCD，他打算讓矩形羊圈的一面完全靠著墻MN，墻MN可利用的長(zhǎng)度為25m，另外三面用長(zhǎng)度為50m的籬笆圍成(籬笆正好要全部用完，且不考慮接頭的部分)
(1)若要使矩形羊圈的面積為300m2，則垂直于墻的一邊長(zhǎng)AB為多少米?
(2)農(nóng)場(chǎng)老板又想將羊圈ABCD的面積重新建造成面積為320m2，從而可以養(yǎng)更多的羊，請(qǐng)聰明 的你告訴他：他的這個(gè)想法能實(shí)現(xiàn)嗎?為什么?
考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用.
專題：幾何圖形問(wèn)題.
分析：(1)設(shè)所圍矩形ABCD的寬AB為x米，則寬AD為(50﹣2x)米，根據(jù)矩形面積的計(jì)算方法列出方程求解.
(2)假使矩形面積為320，則x無(wú)實(shí)數(shù)根，所以不能圍成矩形場(chǎng)地.
解答： 解：(1)設(shè)所圍矩形ABCD的寬AB為x米，則寬AD為(50﹣2x)米.
依題意，得x•(50﹣2x)=300，
即，x2﹣25x+150=0，
解此方程，得x1=15，x2=10.
∵墻的長(zhǎng)度不超過(guò)25m，
∴ x2=10不合題意，應(yīng)舍去.
∴垂直于墻的一邊長(zhǎng)AB為15米.
(2)不能.
因?yàn)橛蓌•(50﹣2x)=320得x2﹣25x+160=0.
又∵b2﹣4ac=(25)2﹣4×1×160=﹣15<0，
∴上述方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
因此，不能使所圍矩形場(chǎng)地的面積為320m2.
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，不僅是一道實(shí)際問(wèn)題，而且結(jié)合了矩形的性質(zhì)，解答此題要注意以下問(wèn)題：
(1)矩形的一邊為墻， 且墻的長(zhǎng)度不超過(guò)45米;
(2)根據(jù)矩形的面積公式列一元二次方程并根據(jù)根的判別式來(lái)判斷是否兩邊長(zhǎng)相等.
24.探究一：如圖，正△ABC中，E為AB邊上任一點(diǎn)，△CDE為正三角形，連接AD，猜想AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
探究二：如圖，若△ABC為任意等腰三角形，AB=AC，E為AB上任一點(diǎn)，△CDE為等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，連接AD，猜想AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì);平行線的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
專題：探究型.
分析：猜想AD與BC的位置關(guān)系為AD∥BC，欲證AD∥BC，可以根據(jù)正三角形，等腰三角形的性質(zhì)，證明△ACD∽△BCE，再證明AD與BC的內(nèi)錯(cuò)角相等，得出結(jié)論.
解答： 解：(1)AD與BC的位置關(guān)系為AD∥BC;
∵△ABC和△DEC是正三角形，
∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=60°.
∴ = ，∠DCA=∠ECB.
∴△ACD∽△BCE.
∴∠DAC=∠EBC=60°.
∴∠DAC=∠ACB.
∴AD∥BC.
(2)AD與BC的位置關(guān)系為AD∥BC;
∵△ABC和△DEC是等腰三角形
DE=DC，且∠BAC=∠EDC，
∴∠ACB=∠DCE.
∴ = ，∠DCA=∠ECB.
∴△ACD∽△BCE.
∴∠DAC=∠EBC.
∴∠DAC=∠ACB.
∴AD∥BC.
點(diǎn)評(píng)：觀察測(cè)量，然后進(jìn)行推理證明，是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的基本規(guī)律.本題考查了正三角形，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定.注意證明方式相同.
25.有一種可食用的野生菌，剛上市時(shí)，外商李經(jīng)理以每千克30元的市場(chǎng)價(jià)格收購(gòu)了這種野生菌1000千克存放入冷庫(kù)中，據(jù)預(yù)測(cè)，該野生菌的市場(chǎng)價(jià)格將每天每千克上漲1元;但冷凍存放這批野生菌時(shí)每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)310元，而且這種野生菌在冷庫(kù)中最多保存140天，同時(shí)，平均每天有3千克的野生菌損壞導(dǎo)致不能出售.
(1)若存放x天后，將這批野生菌一次性出售，設(shè)這批野生菌的銷售總額為P元，試求出P與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)李經(jīng)理將這批野生菌存放多少天后一次性全部出售可以獲得22500元的利潤(rùn)?
考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用;根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式.
分析：(1)根據(jù)等量關(guān)系：銷售金額=x天后能售出的香菇質(zhì)量×售價(jià)，然后列式整理即可得解;
(2)根據(jù)利潤(rùn)=銷售金額﹣成本，列出方程，然后解關(guān)于x的一元二次方程即可解得.
解答： 解：(1)y=(1000﹣3x)×(30+x)，
=﹣3x2+910x320000，
即y=﹣3x2+910x+30000(1≤x≤140，且x為整數(shù));
(2)獲得利潤(rùn)22500元時(shí)，w=(﹣3x2+910x+30000)﹣30×1000﹣310x=22500，
解得x1=50，x2=150，
∵香菇在冷庫(kù)中最多保存140天，
∴x=50.
答：李經(jīng)理想獲得利潤(rùn)22500元，需將這批香菇存放50天后出售.
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用及一元二次方程的應(yīng)用，找出銷售金額的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
26.已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD.
(1)求證：∠DAC=∠DBA;
(2)求證：P是線段AF的中點(diǎn);
(3)連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長(zhǎng).
考點(diǎn)：圓的綜合題.
分析：(1)利用角平分線的性質(zhì)得出∠CBD=∠DBA，進(jìn)而得出∠DAC=∠DBA，再利用互余的性質(zhì)得出∠DAC=∠ADE，進(jìn)而得出∠DAC=∠DBA;
(2)利用圓周角定理得出∠ADB=90°，進(jìn)而求出∠PDF=∠PFD，則PD=PF，求出PA=PF，即可得出答案;
(3)利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用三角形面積求出DE即可.
解答： (1)證明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對(duì)的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA，
∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠DAC=∠ADE，
∴∠DAC=∠DBA;
(2)證明：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是線段AF的中點(diǎn);
(3)解：連接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴CD=AD，
∵CD﹦3，∴AD=3，
∵∠ADB=90°，
∴AB=5，
故⊙O的半徑為2.5，
∵DE×AB=AD×BD，
∴5DE=3×4，
∴DE=2.4.
即DE的長(zhǎng)為2.4.
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合以及圓周角定理和勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，熟練利用圓周角定理得出各等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.
27.閱讀理解：
如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合)，分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn);如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn).解決問(wèn)題：
(1)如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說(shuō)明理由;
(2)如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)的格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E;
拓展探究：
(3)如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處.若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.
考點(diǎn)：相似形綜合題.
專題：壓軸題.
分析：(1)要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問(wèn)題得解.
(2)根據(jù)兩個(gè)直角三角形相似得到強(qiáng)相似點(diǎn)的兩種情況即可.
(3)因?yàn)辄c(diǎn)E是梯形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解.
解答： 解：(1)點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn).
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°.
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°.
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC.
∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn).
(2)作圖如下：
(3)∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE= ∠BCD=30°，
∴BE= CE= AB.
在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，
∴ ，
∴ .
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)以及理解相似點(diǎn)和強(qiáng)相似點(diǎn)的概念等，從而可得到結(jié)論.
28.如圖，以點(diǎn)P(﹣1，0)為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)(B在C的左側(cè))，交y軸于A、D兩點(diǎn)(A在D的下方)，AD=2 ，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，得到△MCB.
(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)動(dòng)直線l從與BM重合的位置開始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線l與CM交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，連接MQ、QG.請(qǐng)問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小是否變化?若不變，求出∠MQG的度數(shù);若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn)：圓的綜合題.
專題：壓軸題.
分析：(1)連接PA，運(yùn)用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑，從而可以求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)由于圓P是中心對(duì)稱圖形，顯然射線AP與圓P的交點(diǎn)就是所需畫的點(diǎn)M，連接MB、MC即可;易證四邊形ACMB是矩形;過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC，垂足為H，易證△MHP≌△AOP，從而求出MH、OH的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)易證點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，從而得到∠MQG=2∠MBG.易得∠OCA=60°，從而得到∠MBG=60°，進(jìn)而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值.
解答： 解：(1)連接PA，如圖1所示.
∵PO⊥AD，
∴AO=DO.
∵AD=2 ，
∴OA= .
∵點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1，0)，
∴OP=1.
∴PA= =2.
∴BP=CP=2.
∴B(﹣3，0)，C(1，0).
(2)連接AP，延長(zhǎng)AP交 ⊙P于點(diǎn)M，連接MB、MC.
如圖2所示，線段MB、MC即為所求作.
四邊形AC MB是矩形.
理由如下：
∵△MCB由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°所得，
∴四邊形ACMB是平行四邊形.
∵BC是⊙P的直徑，
∴∠CAB=90°.
∴平行四邊形ACMB是矩形.
過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC，垂足為H，如圖2所示.
在△MHP和△AOP中，
∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，
∴△MHP≌△AOP.
∴MH=OA= ，PH=PO=1.
∴OH=2.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣2， ).
(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小不變.
∵四邊形ACMB是矩形，
∴∠BMC=90°.
∵EG⊥BO，
∴∠BGE=90°.
∴∠BMC=∠BGE=90°.
∵點(diǎn)Q是BE的中點(diǎn)，
∴QM=QE=QB=QG.
∴點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖3所示.
∴∠MQG=2∠MBG.
∵∠COA=90°，OC=1，OA= ，
∴tan∠OCA= = .
∴∠OCA=60°.
∴∠MBC=∠BCA=60°.
∴∠MQG=120°.
∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小不變，始終等于120°.
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