對經濟研究中數學方法運用的思辨
【摘要】如何認識經濟研究中數學方法的運用在學術界歷來爭議很大。從歷史的角度論及經濟乃至經濟學與數學形影形隨的密切關系，就可以認定數學能為經濟學提供特有的、嚴密的方法。但如何在經濟研究中運用數學方法方面，卻存在著諸多問題，對此必須進行深刻的分析，才能正確提出在經濟研究中構建數學模型的要求、步驟及應注意的問題。
【關鍵詞】經濟研究/數學方法/歷史/數學模型
如何認識經濟研究中數學方法的運用在學術界歷來爭議很大。自從1969年首屆諾貝爾經濟學獎授予將數學和統計方法應用于經濟分析的荷蘭經濟學家丁伯根以后，在世界范圍內出現了一股經濟研究數學化的熱潮。經濟研究中這種傾向性的風氣，對我國經濟理論界產生了很大影響，一些經濟理論文章出現了大段大段數學公式的推導，個別學術性經濟類雜志(并非是計量經濟學或統計學雜志)此類文章甚至占了1/2到2/3，對此不少經濟學家產生了疑惑：難道這就是經濟理論研究的方向，這類研究可以解決或闡明我國經濟體制改革中的一些現實問題嗎?
一、經濟研究離不開數學
一部科學史揭示了這樣一個事實：凡屬“科學”范疇的各個學科，都是在人類社會活動實踐的基礎上產生的。學科的劃分和不同學科各自特征的歸納都是“人為”因素作用的結果，就內在本質而言，各學科之間相互作用、相互影響、相互滲透的關聯性極為明顯，不惟自然科學與社會科學各自內部的學科，就是兩類學科之間也是如此。
經濟學是研究社會資源配置及社會經濟關系的一門科學�；谫Y源存量與流量的可度量性，為了使資源配置更加公平、效率更高，經濟學有必要借助于數學這一嚴密、精確、實用的思維工具�；谠谫Y源配置過程中所形成的經濟關系涉及到經濟制度、社會心理、價值觀念等難以量化的因素，經濟學作為一種以思辨定性分析為主的實證性科學，不可能以數學作為經濟研究中基本的或者說萬能的工具。
關于數學方法在經濟學中的作用問題，在理論界歷來爭議就很大，這種論爭至少已有100年之久。從“反對數學的蒙昧主義”，到斷言沒有數學就沒有任何科學，見仁見智，意見可謂大相徑庭。
作為實際經濟活動的理論概括和抽象的經濟學，從其萌發到形成始終沒有離開過數學。一方面，數的概念是在漫長的生產活動過程中產生的，另一方面生產活動也總是需要經濟類的不同學科，諸如人口學、市場學、勞動工資學、價格學、財政學、金融學、會計學等等無一不與計數、計量、計算有關。離開數的概念，離開算的方法，可以說就不會有這些學科。
經濟活動的實踐決定了經濟理論的研究也離不開數量，并且在經濟學中運用數學的程度與數學本身的發展密切相關�？v觀數學的歷史，其可分為有質的區別的四個基本階段。第一階段，計數、算術時期(終止于紀元前5世紀);第二階段，初等數學即常量數學時期(終止于17世紀);第三階段，變量數學時期(終止于19世紀);第四階段，現代數學時期�，F代數學時期突出的特點是，多種多樣的數學分支不斷成長，數學的對象和應用范圍大大擴展，并且以更高的理論抽象和概括揭示出了數學中最一般的統一的概念。
盡管數學的概念和結論極為抽象，但是它們都是從現實中來的，并且能在其他學科中、在社會生活實踐中得以廣泛應用，這也許是數學不僅具有無限的生命力且對于各個學科都有巨大影響和吸引力的根由所在。正如恩格斯在《反杜林論》中所說，應用數學來研究現實世界的這種可能性的根源在于：數學從這個世界本身提取出來，并且僅僅表現這個世界所固有的關系的形成部分，因此才能夠一般地加以應用。
經濟學對數學的應用范圍伴隨著數學的發展在不斷擴大。在19世紀之前，經濟學主要運用的是初等數學。從威廉·配第的《賦稅論》(1662)、《政治算術》(1676)，到魁奈的《經濟表》(1758)，都是利用數字、圖表和簡單的計算去描述分析國民財富的狀況和變化。從19世紀起，經濟學的研究引入了變量和函數的概念，數學方法的運用更為普遍。其中，考納德的《財富理論的數學原理研究》(1838)是一本有意識地運用數學公式來說明經濟問題的著作。此后，屠能的以實際數量為根據的經驗公式(1850)、瓦爾拉的均衡交易理論(1874)、哈羅德的經濟增長模型(1948)、丁伯根的包括48個方程式的大型經濟增長模型(1939)、劉易斯的“二元經濟”模型(1954)、托賓的中值—變量模型(1958)以及20世紀70年代至90年代索洛和羅曼的經濟增長模型等等，一大批運用數學方法研究經濟問題的論著紛紛問世。這些著作的共同特點是既使用了一般經濟概念和傳統經濟方法，同時又使用了從最簡單的數學符號到最新的數學方法。
從經濟學與數學形影相隨的發展歷程可以獲知，數學能為經濟學提供特有的、嚴密的分析方法，它同定性分析中常用的邏輯學一樣，是一種認識世界的工具。但是數學的應用只有與具體現象的深刻理論和嚴格的“質”的規定性相結合才有意義，否則經濟研究會陷入毫無實在內容的公式與數學的游戲之中。
二、經濟研究中運用數學方法出現的偏差
現在關于數學在經濟研究中運用問題的爭論焦點，不是經濟學要不要運用數學方法，而是如何運用數學方法問題。對于前者，經濟活動中對數學廣泛應用的實踐和經濟理論運用數學方法研究成果的不斷推出已經作出了肯定回答，而對于后者卻眾說紛紜，莫衷一是。由此使得經濟學在運用數學方法時出現了嚴重偏差，影響了研究效果，發展下去有可能使我國經濟研究步入歧途。
經濟研究中應用數學方法存在的主要問題有：
1.運用范圍過泛過濫。數學運用的界域是可以量化的事物，經濟研究的視野是人類一切經濟活動和社會關系。并非所有的經濟活動和經濟關系都是可以量化的，尤其是社會經濟關系，它受到制度的、道德的、文化的、歷史的諸多社會因素的影響，這些因素幾乎大部分是無法量化的。如若硬是將不可量化的因素用數學公式將它們的關系表達出來，似乎怎么說都有道理，因為它們根本不存在運算關系，也無法運用數量的計算去考證對錯。盡管數學也是反映人的思維的一種語言，但并非所有的科學都能轉化為數學的語言。像物理學、化學、生物學這些與數學緊密關聯的學科也是如此，有些問題即使將其轉化為數學關系式，也不一定具有可解性。而以人類社會活動為研究對象的社會科學對數學的運用所受的限制就更多了，試圖將經濟學非人性化，以至將經濟活動中的人“機械化”，將人的活動程序化、公式化，這無疑是經濟研究的一種自我毀滅。
不看對象、不問條件、一門心思運用數學方法去求解經濟問題，很容易使經濟學沉湎于方法論的探尋，拘泥于微觀經濟體的研究，而對于涉及宏觀經濟體制變革、機制設計以及社會關系調整等全局性的問題有所輕視和忽略。正如理查德·布隆克所說，現代經濟學越來越熱衷于復雜的數學計算，沾沾自喜于美妙的數學模型，玩弄神秘。其結果是導致經濟學逐步地與每日生活的豐富性、復雜性和非理性相脫離。近幾年的經濟研究動態已顯露出這方面的一些令人憂慮的跡象。
2.對數學模型約束條件的取舍過于隨意。幾乎所有的理論都是在設定若干前提和假設條件的基礎上確立的。如會計學中會計主體、持續經營、會計期間和貨幣計量等四個會計假定，西方經濟學中“經濟人”及“完全市場化”的假定等。數學方法邏輯嚴密性和計算準確性的性質決定了任何一個數學模型都要受到若干條件的約束，只有假定這些條件滿足，該數學模型才能成立。方程越復雜所受的約束條件越多�，F在一些經濟學家建立數學模型對于約束條件，一是根本不去考慮，二是過于簡化，三是約束條件的確定十分隨意，僅從模型本身的需要出發而不考慮是否符合客觀實際要求。如此建立起來的數學模型起不到對經濟現象量化模擬和對經濟理論抽象概括的作用，相反，容易引起理論的混亂和實際操作的重大失誤。
3.數學方法應用的目的不很明確。數學也是一種語言，對某些現象之所以要用數學而不用其他形式的語言(如文字、圖畫、音樂、形體等)去描述，就是因為它能夠比其他形式的語言更簡練、更準確地將該現象表示出來。如果達不到簡練準確的效果，就應該采用其他的語言形式。有些經濟學家對這一點不大明白，將本來可以用淺顯易懂的語言說明的問題，故意用多數人看不懂的數學公式表達出來，而得出的結論卻是人人通曉的一般經濟學常識。這樣做的目的似乎只能解釋為：可以掩飾經濟理論貧乏之尷尬，可以省卻向客觀實際調查之勞苦，可以以淵博的數學知識作為傲視經濟界同仁之資本，可以實踐“所謂理論就是將簡明通淺的事理以晦澀詰屈的語言描述出來”的治學之道。這方面西方經濟學界也有許多深刻的教訓。例如20世紀90年代，一些經濟學家試圖用隨機微分和非參數統計方法研究金融問題，但至今成效甚微，甚至于應用方面出現了致命的偏差。
4. 為刻意建立模型，對來自實際的數據采取唯我所取的實用主義態度。本來構建數學模型要對所研究的現象進行細微周密的調查，盡可能獲取詳盡的數字資料，并應做一番去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的深入分析，以期找出主要因素及各因素的數量關系，從而建立起數學表達式�？涩F在一些經濟學家卻反其道而行之，將構建數學模型的順序顛倒了過來。采取先確定數學表達式，然后再找能夠支持數學關系式成立的數據，從而驗證自己所做出的理論概括的正確性。這種以主觀意識為導向的研究方法是不可取的，說嚴重一點，它帶有較強的唯心主義色彩，其實它與電腦算命有異曲同工之妙，盡管它披上了數學這層“科學”的外衣。經濟學本來應是一門從實踐到理論再到實踐的不斷用實踐驗證和充實的實證性科學，若反其道而行之，難免會使經濟研究步入不問民眾疾苦，遠離社會經濟生活實際的歧途。
5.用數學模型對經濟進行預測分析的效果不盡如人意。僅以對股票價格預測為例就足以說明這一點。股市可以說是信息資料最為充分、最為準確，也最有條件根據各種相關資料來擬合數學模型的實驗場。人們總是千方百計試圖建立各種數學模型去預測股價走勢�，F在市場上有錢龍、勝龍、勝者之星、指南針等十幾種股票行情分析軟件，但是無論用哪一種軟件去預測分析股票走勢，似乎勝算的幾率也只能維持在50%左右。無法準確預測未來走勢也正是股市具有吸引投資和投機的魅力所在。近來一些從事理論物理研究的人認為股票價格也適用于量子物理中的“海森堡測不準原理”。整個宏觀經濟的運行以及諸如物價、失業、經濟增長等經濟問題要比股市復雜得多，力圖用一兩個數學模型去準確分析預測其動態變化是不現實的，否則會使經濟學陷入尷尬的“混沌”境界。最著名的“蝴蝶效應”的實例就說明了數學模型于實際應用的局限性。麻省理工學院氣象學家洛侖茨曾用計算機求解模擬地球大氣的13個方程式，以預報天氣。為了提高預報的精度，他把一個小小的中間變量取出。然而，在他喝完一杯咖啡回來后，卻驚奇地發現：這一小小的變動已使得結果相差十萬八千里!計算機沒有毛病，他的改變也有道理，結果何以天上人間?洛侖茨冥思苦想，最后認定自己陷入了“混沌”現象：初始值的極端不穩定性，導致最終結果的巨大差異。好比說，加勒比海一只微不足道的蝴蝶哪一天也許只是想調調情而振動了一下它那美麗的翅膀，結果幾個月后地球上竟出現一場威力無比、鋪天蓋地的龍卷風!混沌無所不在。宇宙是這樣，地球是這樣，經濟現象也是這樣。人們所建立的數學模型只能展示某種現象總體的、大致的、趨向性的走勢。就連人的身高與體重這種高度相關的自然現象，世界各國的統計學家、生物學家所擬合的回歸方程也各不相同，何況對于以人的思維和人的行為為主要導向的社會經濟現象呢?近200年來，經濟學史上能夠經得起實踐檢查、為人們普遍采用的數學模型多是那些較為簡便，易于應用，且能描述事物總體趨勢的數學公式。如恩格爾系數、基尼系數、拉斯貝爾指數、派許指數、哈羅德-多馬經濟增長模型、科布-道格拉斯生產函數、凱恩斯的消費函數、�？怂沟腎S-LM模型等。這類數學模型的數量與汗牛充棟的經濟學論著相較實在少得可憐，難免使人不對經濟研究中的應用數學方法的成果感到失望。正如劉易斯在《經濟增長理論》一書中所說，“大多數預測在方法上是不可行”的，“為了能預言將要發生的事，我們不能不了解所有的變量將怎樣變動，單憑個人的頭腦不可能建立可以預測未來的成萬個變量的方程體系。”
三、關于數學模型的構建與運用
從諾貝爾經濟學獎設立以來，截止到2000年已有46位經濟學家分享了這項榮譽，其中有1/3獲獎者的研究成果與數學、計量經濟學的應用有關。諾貝爾獎的評獎機構瑞典科學院對拓展經濟學領域的研究給予了積極的支持，其倡導各學科之間研究成果的交叉和融合(如有的將經濟學與法學結合，有的與科學編年史結合)，這些獲獎者正是符合或者說迎合了評獎的判定標準。有鑒于此，我國經濟學研究是否也應與國際“接軌”?其實，諾貝爾經濟學獎對各國經濟研究的方向和范圍并不具有指導性意義，只能說其具有參考借鑒的價值。不僅是因為評獎的標準、尺度并不確定，更主要是因為經濟學是一門實用性很強的科學，只有從各國的國情出發，才能使經濟研究更有價值，使經濟學更具有生命力。我認為，當前我國的經濟應在機制轉變、利益關系調整、經濟體制改革如何與政治體制改革相結合等方面多做文章。至于采用什么方法，則應十八般兵器，哪種適用就選用哪種。
經濟研究中應用數學方法還存在著諸多問題，只能說我們對于數學的真諦及其與經濟現象的內在聯系還了解得不夠深透，尚未從必然王國走進自由王國。這里僅就數學模型的建立談點自己的認識：
(一)數學抽象與數學模型
抽象性是數學的首要特征。數學以純粹的量的關系和形式作為自己的對象，它完全舍棄了具體現象的實際內容而去研究一般的數量關系，它考慮的是抽象的共性，而不管它們對個別具體現象的應用界限。抽象的絕對化是數學所特有的。相反，包括經濟學在內的其他科學感興趣的首先是自己所抽象的公式(數學模型)同某個完全確定的現象的對應問題及應用的約束條件。所以，經濟學的數學運用首要的問題是適用性或說實踐性的問題，即能否用所建立的模型去概括某一經濟現象或說明某一經濟問題。為簡潔而又形象地對事物量化屬性和結構特征進行深刻的描述，用字母、數學及其他數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象及框圖等對客觀事物的數量特征及其內在聯系的表達形式，都可稱為數學模型。運用數學模型可以研究變量之間的關系，探尋事物的變化規律，用可控變量得出必要的結果，從而概括出理論假說。
(二)構建數學模型的要求和步驟
芝加哥經濟學派的觀點是：數學模型應該優美，應該簡單，但不能過于簡化。一般來說，構建的數學模型總的要求是：(1)有足夠的精確度;(2)簡單實用;(3)依據充分;(4)盡量借鑒標準形式;(5)具有可控性，易于操作。
構建數學模型的步驟：(1)根據研究的目的和任務對所要研究的現象進行全系統的周密調查，以獲取大量的數據資料，并對資料進行分組整理;(2)在一定的理論指導下，對數據進行觀察和分析，找出影響系統的主要因素，確定主要變量;(3)發現事物的共性和數量之間的相互關系，明確系統運行的約束條件;(4)規定符號、代碼，列出符合客觀實際數量關系的數學表達式;(5)對數學關系式進行簡化、合并，確立數學模型;(6)以實測值去檢驗模型的可信度，并對模型做出適當校正;(7)根據模型對現象狀態和變化規律的描述，提出相應的理論假說。
(三)構筑和運用數學模型應注意的問題
1.只能對可以量化的事物進行數學分析和構建數學模型，對不可量化的事物只能建造概念模型，而概念模型是無法進行數量分析的。西方經濟學史上曾有人建立過“幸福微積分”和“快樂方程式”，那也只是有數學之名而無數學之實的概念模型。
2. 可以量化的事物必須有嚴格的質的規定性以將一事物同其他事物區別開來，否則難以測定事物的數量。盡管經濟模型是反映事物的數量關系的，但必須從定性認識開始，離開具體理論所界定的概念，無從對事物的數量進行研究。經濟上的量是在一定質的界定下的量，不是數學中的抽象的量。
3.涉及所要研究的可量化的事物是大量的，幾乎是不可數的，只能舍棄絕大部分事物，留存少量的主要的事物做研究。主要事物還是次要事物的判定與取舍十分關鍵。
4.即便對這些主要事物，也只能取其某一時空條件下的數量，因為經濟問題和社會現象有許多是處于不穩定狀態或臨界狀態的，所以據此擬合的數學模型必須要有嚴格的時空條件限制。
5.根據所搜集的數據建造的數學模型，只能算作一個“經驗公式”，其只能對現象做出粗略大致的描述，據此公式計算出來的數值只能是個估計值。
6. 用所建造的數學模型去說明解釋處于動態中的經濟現象，必須注意時空條件的變化，必須考慮不可量化因素的影響作用及在一定條件下次要因素轉變為主要因素的可能性。尤其是政府決策部門在根據所建造的數學模型制定相應政策、調整相應經濟運行機制之后，會引發眾多經濟利益主體采取相應對策，以至部分甚至完全改變原來的經濟行為，由此會使經濟運行結果與原來的模型所預期的結果發生較大的差距。
最后順便說一點，經濟學家所選用的數學模型一般都是已被數學家從數學的推理上嚴格證明了的現成公式，如果一個經濟學家報告說它從經濟現象中采用類比推理的方法發現了一個數學定理，且僅限于用數學模型將它表現出來，那么任何一個數學家都不會承認這個未被抽象證明了的定理的。
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