關于中值定理的開題報告模板
一、選題的根據
1.選題的來源及意義
微分中值定理是數學分析課程中的重要內容，同時也是微積分學的基本定理，是研究函數性質的有力工具。函數與其導函數是兩個不同的的函數，而導數只是反映函數在一點的局部特征，如果要了解函數在其定義域上的整體性態，就需要在導數及函數間建立起聯系，微分中值定理正好起到了這種作用。它不僅溝通了函數與其導數的關系，而且也是微積分學理論應用的橋梁與基石。但其理論性較強，內容抽象，在許多的教材中定理的形式單一，導致學生的興趣不大，同時理解和應用起來比較困難，甚至容易得出錯誤結論。本文針對這一情況，著重論述微分中值的內涵以及相互聯系，希望能運用多種方法給出證明，同時對定理的形式和結論做一些推廣，并給出一些比較好的應用.
2.國內外研究狀況
人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之始就開始了。1637 年，法國著名數學家費馬（Fermat，1601—1665）在《求最大值和最小值的方法》中給出了費馬定理，在許多教科書中，人們通常將它作為微分中值定理的第一個定理。羅爾于1691 年在題為《任意次方程的一個解法的證明》的論文指出了：在多項式方程的兩個相鄰的實根之間，方程至少有一個根。一百多年后，即1846 年，尤斯托.伯拉維提斯將這個定理推廣到可微函數，并把此命題命名為羅爾定理。1797 年，法國數學家拉格朗日在《解析函數論》一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。對微分中值定理進行系統研究的是法國的數學家柯西，他是數學分析嚴格化運動的推動者，其三部巨著《分析教程》、《無窮小計算教程概論》及《微分計算教程》以嚴格化為其主要目標，對微積分理論進行了重構。他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為微分學的核心定理。
在《無窮小計算教程概論》中，柯西首先嚴格的證明了拉格朗日定理，隨后又在《微分計算教程》中將其推廣為廣義中值定理——柯西定理。 國內關于微分中值定理的理論及應用的研究工作較多，而且得到了一些較好的結果。在參考文獻[2]中,作者運用推廣與收縮的觀點了揭示了微分中值定理之間的關系，闡述了微分中值定理在微分學的地位與作用，同時介紹了微分中值定理在解題中一些相關應用；在參考文獻[4]中，文章把區間及端點的函數值推廣為無限，改進了相應的結果；在參考文獻[5]中，作者采用了啟發性教學及應用綜合分析法來構造輔助函數，能達到理想的教學效果；在參考文獻[6]中，作者針對在閉區間端點處不連續的函數以及無窮區間上的可導函數的相關問題作了進一步研究，所得結論推廣和完善了文獻中相應的定理；在參考文獻[9]中，文章通過幾個例子具體說明微分中值定理在證明不等式中的應用，以及不同中值定理在解決的不等式的區別；在參考文獻[10]中，作者通過實例系統地介紹一些較好的證明方法，如輔助函數法中導出輔助函數的觀察法、積分法、微分方程法以及待定系數法，以此為基礎推出若干新的微分中值定理。
3.研究目標
在已學知識和參考文獻的的基礎上，本文從四個方面進行考慮：
第一：將證明方法進行改進；
第二：將定理的條件減弱，對結論進行推廣；
第三：從應用的方面進行推廣；
第四：對微分中值定理的教學過程中的講授方法進行相關的探討。
4.本文創新點
本文將詳細介紹三大中值定理之間的密切聯系，詳細闡述如何構造輔助函數，并給出和常規證法不一樣的證明方法；同時對結論進行了相應的推廣，給出一些形式更好和條件更弱的結果；此外，還將微分中值定理應用于解決一些實際問題，給出一些比較的應用。
5.主要參考文獻
[1]華東師范大學數學系. 數學分析(第二版)上冊[M] 北京：高等教育出版社.1980.
[2]劉章輝.微分中值定理及其應用[J].山西大同大學學報(自然科學報). 2007， 23(2)：79-81.
[3] 張玉蓮，楊要杰.拉格朗日中值定理的推廣[J].河南教育學院學報(自然科學版). 2008，29(2)：11-12.
[4]高波.微分中值定理的推廣[J].常州工學院學報. 2007,20(6):58-62.
[5]張珍珍，吳筠.中值定理數學探討[J].九江學院學報. 2007，(3)：109-110.
[6]齊春玲，李曉培.關于羅爾中值定理條件的研究[J].河南科技大學學報：自然科學版. 2007，28（5）：96-97.
[7]辛健.拉格朗日中值定理在證明中的應用[N].大眾科技. 2007，(97)： 181-183.
[8]宋秀英.關于微分中值定理的一點注記[J].宜春學院學報(自然性科學). 2007，29(6):46-47.
[9]趙文祥.微分中值定理與不等式的證明[J].天津電大學報. 2007：25-27.
[10]張太忠，黃星，朱建國.微分中值定理應用的新研究[J].南京工業職業技術學院學報. 2007，7(4)：23-26.
二、采用的研究方法及手段
本文采取的是文獻研究法的：具體采用了數學歸納法、分析法、反證法、演繹法等方法.
三、論文的框架結構
微分中值定理的若干推廣及其應用
0.引言
1.微分中值定理常見的結論及證明
1.1 微分中值定理的歷史演變
1.2 Rolle 中值定理及其證明
1.3 Lagrange 中值及其證明
1.4 Cauchy 中值定理及其證明
1.5 Rolle 中值定理、Lagrange 中值、Cauchy 中值定理的區別及聯系
2. 微分中值定理的推廣
2.1 Rolle 中值定理的推廣
2.2 Lagrange 中值定理的推廣
2.3 Cauchy 中值定理的推廣
2.4 高階形式的微分中值定理
3. 應用
3.1 利用微分中值定理判別根的存在性
3.2 利用微分中值定理證明不等式
3.3 利用微分中值定理求極限
3.4 中值定理在高中數學中應用
4. 微分中值定理的教學一些探討
4.1 關于微分中值定理條件的研究
4.2 微分中值定理在現實生產生活的研究
5. 結論
6. 參考文獻
7. 致謝
四、寫作的階段計劃
第一階段：20xx年11 月29 日——20xx 年03 月10 日，完成初稿
第二階段：20xx 年03 月11 日——20xx 年03 月31 日，完成二稿
第三階段：20xx 年04 月01 日——20xx年04 月21 日，完成三稿
第四階段：20xx年04 月22 日——20xx年05 月09 日，完成四稿
第五階段：20xx年05 月10 日——20xx年05 月15 日，完成定稿
指導老師意見：
指導教師簽名：
x年x月x日
指導委會意見主任簽名：
x年x月x日
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