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基于FPGA的快速并行FFT及其在空間太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡圖像鎖定系統(tǒng)中的應(yīng)
摘要：在空間太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡的在軌高速數(shù)據(jù)處理中，運(yùn)算時(shí)間是影響系統(tǒng)性能的重要環(huán)節(jié)之一。利用FPGA豐富的邏輯單元實(shí)現(xiàn)快速傅里葉變換（FFT），解決 了在軌實(shí)時(shí)大數(shù)據(jù)量圖像處理與航天級(jí)DSP運(yùn)算速度不足之間的矛盾；利用溢出監(jiān)測(cè)移位結(jié)構(gòu)解決了定點(diǎn)運(yùn)算的動(dòng)態(tài)范圍問題。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，各項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)到了設(shè)計(jì)要求。空間太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡項(xiàng)目是我國(guó)太陽(yáng)物理學(xué)家為了實(shí)現(xiàn)對(duì)太陽(yáng)的高分辨率觀測(cè)而提出的科學(xué)計(jì)劃。它可以得到空間分辨率為0.1"的向量磁圖和0.5"的X射線圖像，實(shí)現(xiàn)這樣高的觀測(cè)精度的前提就是采用高精度的姿態(tài)控制系統(tǒng)和高精度的相關(guān)跟蹤系統(tǒng)。從整個(gè)系統(tǒng)來看，相關(guān)運(yùn)算所需的時(shí)間成為限制系統(tǒng)性能能否提高的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。
目前，國(guó)際國(guó)內(nèi)相關(guān)計(jì)算比較通用的實(shí)現(xiàn)方法有兩種：用高速DSP或者專用（FFT）處理芯片。用DSP完成相關(guān)計(jì)算（關(guān)鍵是FFT）受到航天級(jí)DSP性能的限制，現(xiàn)有的航天級(jí)DSP（如ADSP21020）計(jì)算一個(gè)32×32點(diǎn)8bit的二維FFT所用時(shí)間需要1.5ms以上，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求；而現(xiàn)有的FFT處理芯片在處理速度、系統(tǒng)兼容性、抗輻射能力等方面不能滿足空間太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡所提出的要求。
為克服這一矛盾，本文利用FPGA資源豐富、易于實(shí)現(xiàn)并行流水的特點(diǎn)設(shè)計(jì)專用的FFT處理芯片來完成復(fù)雜的、大量的數(shù)據(jù)處理；并通過在運(yùn)算中作溢出監(jiān)測(cè)來保證定點(diǎn)運(yùn)算的精度，從而大大縮短系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，將極大地提高空間太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡的在軌實(shí)時(shí)圖像處理能力；同時(shí)由于FPGA具有抗輻射能力，可以提高系統(tǒng)的可靠性，其在航天遙測(cè)遙感和星載高速數(shù)據(jù)處理等方面將有廣泛的應(yīng)用前景。
1 算法構(gòu)成
1.1 FFT算法選擇
提高FFT速度的兩個(gè)主要途徑是采用流水結(jié)構(gòu)和并行運(yùn)算[1]。采用高基數(shù)結(jié)構(gòu)也可以提高速度，只是用FPGA實(shí)現(xiàn)時(shí)必須綜合考慮系統(tǒng)要求、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及片內(nèi)資源。針對(duì)本系統(tǒng)自身特點(diǎn)，這里按時(shí)間抽選算法進(jìn)行分析。由于32不滿足N=4m，所以32點(diǎn)FFT算法不能采用基-4 FFT運(yùn)算。當(dāng)詳細(xì)分析基-2蝶形圖時(shí)，有些蝶形運(yùn)算并不需要做乘法，例如
等[2]；對(duì)于32點(diǎn)DIT-FFT，一共80個(gè)蝶形運(yùn)算，這種結(jié)構(gòu)就有46個(gè)，極大地降低了運(yùn)算復(fù)雜度。在一維FFT計(jì)算效率提高的基礎(chǔ)上對(duì)二維FFT采用最常用的行列算法[3]，綜合各項(xiàng)指標(biāo)本系統(tǒng)采用基-2 DIT行列算法。
1.2 算術(shù)運(yùn)算方案
本系統(tǒng)是針對(duì)32×32點(diǎn)16bit的二維圖像進(jìn)行快速傅里葉變換（FFT），設(shè)計(jì)要求運(yùn)算在0.5ms之內(nèi)完成，所以采用定點(diǎn)運(yùn)算更符合系統(tǒng)對(duì)時(shí)間的要求。對(duì)于定點(diǎn)運(yùn)算，必須用定比例的方法防止溢出，即必須解決動(dòng)態(tài)范圍問題。下面對(duì)其進(jìn)行理論分析：
若{x(n)}是-N點(diǎn)序列，其DFT為{X(K)}，由Parseval定理得[4]：
由式（1）可知變換結(jié)果的均方值是輸入序列均方值的N倍。考慮基-2算法的第m級(jí)蝶形運(yùn)算，用Xm(i)、Xm(j)表示原來的復(fù)數(shù)，則新的一對(duì)復(fù)數(shù)Xm 1(i)、Xm 1(j)為：
Xm 1(i)=Xm(i) Xm(j)×W (2)
Xm 1(j)=Xm(i)-Xm(j)×W
其中，W為旋轉(zhuǎn)因子。首先，考慮復(fù)數(shù)的均方程根值。由（2）式可得：
因此，從均方根意義上看，數(shù)據(jù)（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）復(fù)級(jí)都增加（2的平方根）倍。其次，再考慮復(fù)數(shù)的最大模。由（2）式可以證明[5]。
max{|Xm(i)|,|Xm(j)|}≤max{|Xm 1(i)|,|Xm 1(j)|}≤2max{|Xm(i)|,|Xm(j)|}
因此，復(fù)數(shù)數(shù)組的最大模是非減的。所以，對(duì)于DITFFT，其每一級(jí)的蝶形運(yùn)算之后數(shù)值都會(huì)增加1 (2的平方根)≈2.414倍。在每一次運(yùn)算完成之后，須將結(jié)果右移2bits以滿足要求。
2 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)
系統(tǒng)原理如圖1所示，整個(gè)FFT運(yùn)算處理單元分為三部分：存儲(chǔ)單元（兩個(gè)輸入/運(yùn)算存儲(chǔ)器、一個(gè)輸出存儲(chǔ)器及旋轉(zhuǎn)因子存儲(chǔ)器）、蝶形運(yùn)算單元、地址產(chǎn)生器。
2.1 存儲(chǔ)器
本系統(tǒng)實(shí)時(shí)接收前端CCD相機(jī)的圖像。為保證CCD相機(jī)采集圖像的準(zhǔn)確率，圖像的每一行、每一幀之間都必須有一定的時(shí)間間隔,故采用兩個(gè)存儲(chǔ)單元作為輸入數(shù)據(jù)和中間數(shù)據(jù)的暫存單元（如圖1所示），以節(jié)省時(shí)間實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理。當(dāng)系統(tǒng)工作時(shí)，將圖像存入存儲(chǔ)器、計(jì)算上一次采集的圖像、將存儲(chǔ)器中的結(jié)果輸出，這三個(gè)工作同時(shí)進(jìn)行，用簡(jiǎn)單的流水方式減少存儲(chǔ)數(shù)據(jù)所需的時(shí)間。旋轉(zhuǎn)因子則預(yù)先存儲(chǔ)在器件的內(nèi)置ROM中。根據(jù)級(jí)數(shù)不同選用不同的因子。
2.2 蝶形運(yùn)算單元
一個(gè)基-2蝶形運(yùn)算由一個(gè)復(fù)乘和兩個(gè)復(fù)加（減）組成，采用完全并行運(yùn)算，進(jìn)一步分解為四個(gè)實(shí)數(shù)乘法，六個(gè)實(shí)數(shù)加（減）法，分三級(jí)并行完成，加上前后輸入輸出的數(shù)據(jù)鎖存，共需要6個(gè)時(shí)鐘周期。32點(diǎn)的FFT需要16×5=80個(gè)基-2的蝶形運(yùn)算，一幅圖像一共是32行32列，不考慮不需要做乘法的蝶形
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