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通信信號(hào)自適應(yīng)濾波處理仿真研究
論文關(guān)鍵詞：自適應(yīng)信號(hào)處理 自適應(yīng)濾波器
論文摘要:近幾十年里，數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)取得了飛速發(fā)展，特別是在自適應(yīng)信號(hào)處理方面，通過內(nèi)部參數(shù)的最優(yōu)化來自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)特性并以其計(jì)算簡(jiǎn)單，收斂速度快等許多優(yōu)點(diǎn)而被廣泛使用。本文主要介紹了幾種常用的自適應(yīng)算法，如：LMS，RLS，NLMS等。分別就幾種算法在算法原理，算法性能分析和仿真等方面來說明各種算法的優(yōu)越性。通過圍繞算法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行比較，得出一些重要結(jié)論。最后對(duì)自適應(yīng)信號(hào)處理的一些應(yīng)用作了介紹和分析，并對(duì)其進(jìn)行了仿真。
Abstract：In recent decades, digital signal processing technology has made rapid development, especially in adaptive signal processing. The adaptive signal processing algorithm can adjust the internal parameters of filters to optimize system characteristics automatically. For its simple computational complexity, fast convergence speed and many other advantages, adaptive filer has been widely used.
This paper introduces several commonly used algorithms, such as: LMS, RLS, NLMS, etc.. Through the principle of adaptive algorithm analysis and simulation, we illustrate the various aspects of the adaptive algorithm’s superiority. And through the comparing of their advantages and disadvantages, we could draw some important conclusions for different algorithm.
Finally, some applications of the adaptive signal processing are introduced and analyzed via simulation.
Keywords: Adaptive signal processing, Adaptive filter
1引言
自適應(yīng)信號(hào)處理是信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)非常重要的分支。作為自適應(yīng)信號(hào)處理基礎(chǔ)的自適應(yīng)濾波理論是對(duì)信號(hào)處理研究的一個(gè)重要方法，本文亦將它作為研究的手段。自適應(yīng)信號(hào)處理經(jīng)過近40年來的發(fā)展，隨著人們?cè)谠擃I(lǐng)域研究的不斷深入，其理論和技術(shù)已經(jīng)日趨完善。尤其是近年來，隨著超大規(guī)模集成電路技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，出現(xiàn)了許多性能優(yōu)異的高速信號(hào)處理專用芯片和高性能的通用計(jì)算機(jī)，為信號(hào)處理，特別是自適應(yīng)信號(hào)處理的發(fā)展和應(yīng)用提供了重要的物質(zhì)基礎(chǔ)。另一方面，信號(hào)處理理論和應(yīng)用的發(fā)展，也為自適應(yīng)信號(hào)處理的進(jìn)一步發(fā)展提供了必要的理論基礎(chǔ)。自適應(yīng)信號(hào)處理已經(jīng)在諸如噪聲對(duì)消，信道均衡，線形預(yù)測(cè)等方面得到廣泛的應(yīng)用。
本文主要研究的是自適應(yīng)信號(hào)處理中一些基本的算法，如：LMS，RLS，NLMS等。在學(xué)習(xí)和前人工作的基礎(chǔ)上，對(duì)各種算法進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，分析了它們的特點(diǎn)及性能，諸如穩(wěn)態(tài)特性，收斂條件及參數(shù)的取值。對(duì)其中的兩個(gè)基本算法LMS和RLS算法在收斂性和穩(wěn)定性進(jìn)行了分析比較，并用matlab仿真得到驗(yàn)證。最后對(duì)自適應(yīng)處理的一些應(yīng)用作了簡(jiǎn)要說明，如：噪聲對(duì)消，信道均衡，線性預(yù)測(cè)及陷波器等，并對(duì)其進(jìn)行了仿真。
1.1 研究的目的和意義
常規(guī)的信號(hào)處理系統(tǒng)，利用自身的傳輸特性來抑制信號(hào)中的干擾成分，對(duì)不同頻率的信號(hào)有不同的增益，通過放大某些頻率的信號(hào)，而使另一些頻率的信號(hào)得到抑制。由于其內(nèi)部參數(shù)的固定性，消除干擾的效果受到很大的限制。通常許多情況下，并不能得到信道中有用信號(hào)和干擾信號(hào)的特性或者它們隨時(shí)間變化，采用固定參數(shù)的濾波器往往無法達(dá)到最優(yōu)濾波效果。在這種情況下，可以用自適應(yīng)處理系統(tǒng)，來跟蹤信號(hào)和噪聲的變化。
自適應(yīng)系統(tǒng)可以利用前一時(shí)刻已經(jīng)獲得的濾波器參數(shù)等結(jié)果，自動(dòng)的調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號(hào)和干擾未知的或隨時(shí)間變化的特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。正是由于它在設(shè)計(jì)時(shí)需要很少或者無需任何關(guān)于信號(hào)和干擾的先驗(yàn)知識(shí)就可以完成的優(yōu)點(diǎn)，所以發(fā)展很快，并得到廣泛的應(yīng)用。
1.2 自適應(yīng)系統(tǒng)的組成
自適應(yīng)系統(tǒng)和常規(guī)系統(tǒng)類似，可以分為開環(huán)自適應(yīng)和閉環(huán)自適應(yīng)兩種類型。開環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng)主要是對(duì)輸入信號(hào)或信號(hào)進(jìn)行測(cè)量，并用測(cè)量得到的信息形成公式或算法，用以調(diào)整自適應(yīng)系統(tǒng)自身；而閉環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng)還利用系統(tǒng)調(diào)整得到的結(jié)果的有關(guān)知識(shí)去優(yōu)化系統(tǒng)的某種性能，即是一種帶“性能反饋”的自適應(yīng)系統(tǒng)。
下圖a表示一個(gè)開環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng)，控制該系統(tǒng)的自適應(yīng)算法僅由輸入確定。圖b則表示一個(gè)閉環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng)，控制該系統(tǒng)響應(yīng)的自適應(yīng)算法除了取決于輸入外，還依賴系統(tǒng)輸出的結(jié)果。
輸入 輸出
圖(a)
輸入 輸出
圖(b)
1.3基本自適應(yīng)算法
這里主要介紹LMS，RLS，NLMS三種基本算法。
LMS算法是最被廣泛應(yīng)用的濾波器演算法，最大的特點(diǎn)就是計(jì)算量小，易于實(shí)現(xiàn)�；谧钚【秸`差準(zhǔn)則，LMS算法使濾波器的輸出信號(hào)與期望輸出信號(hào)之間的均方誤差最小。運(yùn)算過程不需要對(duì)相關(guān)函數(shù)及復(fù)雜的反矩陣做運(yùn)算，所以經(jīng)常拿來用作比較的基準(zhǔn)。
LMS算法為了便于其實(shí)現(xiàn)，采用誤差輸出模的瞬時(shí)平方值(即瞬時(shí)功率) 的梯度來近似代替均方誤差 的梯度。實(shí)際上我們可以直接考察一個(gè)由平穩(wěn)信號(hào)輸入的自適應(yīng)系統(tǒng)在一段時(shí)間內(nèi)輸出誤差信號(hào)的平均功率，即把平均功率達(dá)到最小作為測(cè)量自適應(yīng)系統(tǒng)性能的準(zhǔn)則，這就是RLS算法。換句話說，LMS算法是將輸出誤差信號(hào)的平均平方值 最小化，而RLS算法是將輸出誤差信號(hào)平方值總和最小化。雖然RLS算法復(fù)雜度和階數(shù)平方成正比，但是由于它的收斂速度快，所以仍然受到廣泛的應(yīng)用。
為克服常規(guī)的固定步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)算法在收斂速率，跟蹤速率與權(quán)失調(diào)噪聲之間的要求上存在的較大矛盾，許多學(xué)者提出了各種各樣的改進(jìn)型LMS算法。比如歸一化LMS，基于瞬變步長(zhǎng)LMS以及基于離散小波變換的LMS自適應(yīng)濾波算法。這里我們討論歸一化的LMS算法，即NLMS算法。
以上這些算法主要特點(diǎn)是不需要離線方式的梯度估值或者重復(fù)使用樣本數(shù)據(jù)，而只需在每次迭代時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)作“瞬時(shí)”梯度估計(jì)。因此自適應(yīng)過程中的迭代比較簡(jiǎn)單，收斂速度比較快。
1.4 Matlab介紹
本文的算法仿真采用了MATLAB語言。MATLAB是Mathworks公司于20世紀(jì)80年代推出的數(shù)值計(jì)算軟件，近些年來得到了廣泛的應(yīng)用。MATLAB的全稱是Matrix Laboratory，意思是矩陣實(shí)驗(yàn)室。它是以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)的新一代程序語言。與Fortran和C相比，MATLAB語句顯得簡(jiǎn)單明了，更加符合人們平常的思維習(xí)慣。同時(shí)，MATLABB有著良好的數(shù)據(jù)可視化功能，能將數(shù)字結(jié)果以圖形的方式表現(xiàn)出來，讓人們一目了然。這些特點(diǎn)使得MATLAB從眾多數(shù)值計(jì)算語言中脫穎而出，并正以相當(dāng)快的速度在科學(xué)研究和工程計(jì)算中得到應(yīng)用和普及。
MATLAB有著非常強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力，它以矩陣為基本單位進(jìn)行計(jì)算，數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)，這一特點(diǎn)決定了MATLAB有著非凡的解決數(shù)值問題的能力。繪圖方面，MATLAB的繪圖語句簡(jiǎn)單明了，功能齊全。它能夠在不同坐標(biāo)系里繪制二維、三維圖形，并能夠用不同顏色和線型來描繪曲線。正是由于MATLAB這些特點(diǎn)，從而使它適合與進(jìn)行自適應(yīng)算法仿真。
2 基本自適應(yīng)算法的分析與Matlab仿真
2.1最小均方誤差(LMS)自適應(yīng)算法
2.1.1 LMS自適應(yīng)濾波器基本原理
SHAPE \* MERGEFORMAT
圖2.1.1 LMS自適應(yīng)濾波器原理框圖
圖2.1.1中， 表示時(shí)刻 的輸入信號(hào)， 表示時(shí)刻 的輸出信號(hào)， 表示時(shí)刻 的參考信號(hào)或期望響應(yīng)信號(hào)， 表示時(shí)刻 的誤差信號(hào)。誤差信號(hào)為期望響應(yīng)信號(hào) 與輸出信號(hào) 之差，記為 。自適應(yīng)濾波器的系統(tǒng)參數(shù)受誤差信號(hào)控制，并根據(jù) 的值而自動(dòng)調(diào)整，使之適合下一時(shí)刻 的輸入 ，以使輸出信號(hào) 更加接近期望信號(hào) ，并使誤差信號(hào) 進(jìn)一步減小。當(dāng)均方誤差 達(dá)到最小值時(shí)， 最佳地逼近 ，系統(tǒng)已經(jīng)適應(yīng)了外界。
2.1.2 E[e2(n)]與權(quán)值W的關(guān)系
LMS自適應(yīng)濾波器通過算法，當(dāng) 最小時(shí)，濾波器已經(jīng)調(diào)節(jié)出適合現(xiàn)在外部環(huán)境的濾波器權(quán)值W。
(1)我們可以先推導(dǎo)出 與加權(quán)系數(shù)W的關(guān)系式。
寫成矩陣形式： 式(2.1.2.1)
誤差： 式(2.1.2.2)
則 式(2.1.2.3)
令 帶入式(2.1.2.3)中得
可以從上式看出均方誤差 是加權(quán)系數(shù) 的二次函數(shù)，它是一個(gè)中間上凹的超拋物形曲面，是具有唯一最小值的函數(shù)。即 與 的關(guān)系在幾何上是一個(gè)“碗形”的多維曲面。為了簡(jiǎn)單，設(shè) 是一維的，則 與 的關(guān)系成為一個(gè)拋物線。調(diào)節(jié)加權(quán)系數(shù) 使均方誤差最小，相當(dāng)于沿超拋物形曲面下降到最小值。連續(xù)地調(diào)節(jié)加權(quán)系數(shù)使均方誤差最小，即尋找“碗”的底點(diǎn)。碗底： ，即 點(diǎn)。
2.1.3 LMS算法推導(dǎo)
最小均方差（LMS）算法，即權(quán)系數(shù)遞推修正達(dá)到最佳權(quán)系數(shù) 是依據(jù)最小均方算法。最陡下降法（Steepest Descent Method）是LMS算法的基礎(chǔ)，即下一時(shí)刻權(quán)系數(shù)矢量 應(yīng)該等于“現(xiàn)時(shí)刻”權(quán)系數(shù)矢量 加上一項(xiàng)比例為負(fù)的均方誤差函數(shù)的梯度 ，即
式（2.1.3.1）
其中 為
式（2.1.3.2）
為控制收斂速度與穩(wěn)定性的數(shù)量常數(shù)，稱為收斂因子或自適應(yīng)常數(shù)。式（2.1.3.1）中第二項(xiàng)前的負(fù)號(hào)表示當(dāng)梯度值為正時(shí)，則權(quán)系數(shù)應(yīng)該小，以使 下降。根據(jù)式（2.1.3.1）的遞推算法，當(dāng)權(quán)系數(shù)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，一定有 ，即均方誤差達(dá)到極小，這時(shí)權(quán)系數(shù)一定達(dá)到所要求的最佳權(quán)系數(shù) 。LMS算法有兩個(gè)關(guān)鍵：梯度 的計(jì)算以及收斂因子 的選擇。按（2.1.3.2）計(jì)算 時(shí)，要用到量G，P，因此有很大困難，故通常用一種粗糙，但卻有效的方法，就是 用 代替，即
式（2.1.3.3）
式（2.1.2.3）的含義是指單個(gè)誤差樣本的平方 作為均方誤差 的估計(jì)值，從而使計(jì)算量大大減少。從而最終可以推出權(quán)系數(shù)迭代的LMS算法為：
式（2.1.3.4）
為輸入樣本向量，只要給定系數(shù)迭代的初值 ，根據(jù)上式可以逐步遞推得到最佳權(quán)系數(shù)，并計(jì)算出濾波器誤差輸出 。下圖為L(zhǎng)MS算法的流程圖：
SHAPE \* MERGEFORMAT
2.1.4 LMS算法的參數(shù)分析
LMS算法所用到計(jì)算式如下：
系統(tǒng)輸出：
誤差估計(jì)：
權(quán)值更新：
其中 為信號(hào)輸出， 為輸入向量， 為誤差值， 為權(quán)值向量， 為期望值， 為步長(zhǎng)。在LMS算法中步長(zhǎng)值 的取舍問題非常重要，直接影響了算法的收斂速度。 值是用來調(diào)整加權(quán)參數(shù)的修正速度，若 值取的過小，收斂速度就會(huì)過于緩慢，當(dāng)取的過大時(shí)，又會(huì)造成系統(tǒng)收斂的不穩(wěn)定，導(dǎo)致發(fā)散。所以選取最佳的 值是LMS算法中一個(gè)重要的問題。具體收斂條件可由下面的式子分析得出：
可以以得出收斂條件 及
其中 是輸入相關(guān)矩陣 的最大特征值。
2.1.5 LMS算法的仿真分析
圖(2.1.5.1)
上面為輸入信號(hào)與輸出信號(hào)圖示。輸入信號(hào)采用正態(tài)隨機(jī)信號(hào)加上高斯白噪聲。可以看出輸出信號(hào)經(jīng)過一段時(shí)間基本達(dá)到跟蹤，濾波的效果。
圖(2.1.5.2)
圖(2.1.5.3)
上面兩圖分別是誤差曲線和誤差平方均值曲線，可以看出信號(hào)經(jīng)過自適應(yīng)濾波器后經(jīng)過一段訓(xùn)練時(shí)間誤差基本趨于收斂，即外界信號(hào)已經(jīng)完成自適應(yīng)過程，濾波器已經(jīng)將權(quán)值調(diào)節(jié)至最佳，可以輸出得到所期望的有用信號(hào)。
前面已經(jīng)討論過步長(zhǎng) 值對(duì)系統(tǒng)收斂的影響，下面分別取 =0.001和 =0.005用matlab仿真來觀察它們各自收斂情況。系統(tǒng)采用同一輸入信號(hào)和噪聲，信噪比SNR=5。
圖(2.1.5.4)( =0.001)
圖(2.1.5.5)( =0.005)
觀察兩個(gè)不同步長(zhǎng)情況下的誤差曲線不難看出，步長(zhǎng)越小，誤差越小，但收斂速度越慢，為了好的精度，我們?cè)谶x擇時(shí)必然犧牲收斂速度。
以上就是圍繞對(duì)LMS算法的分析，著重討論了算法的實(shí)現(xiàn)及算法中重要參數(shù) 的選擇問題。在實(shí)際中，噪聲功率大小的也會(huì)對(duì)系統(tǒng)的收斂程度產(chǎn)生影響，噪聲功率越大，即信噪比SNR越小，誤差曲線就會(huì)明顯增加，這就是更大噪聲功率對(duì)算法中隨機(jī)梯度的影響，可以通過下面兩個(gè)仿真圖看出。分別取信噪比SNR=5和SNR=20。 =0.001
圖(2.1.5.6)(SNR=5)
圖(2.1.5.7)(SNR=20)
2.2 遞推最小二乘(RLS)算法
2.2.1 最小二乘法
設(shè)已知n個(gè)數(shù)據(jù) ，…， ，…， ，利用圖3.1所示的濾波器結(jié)構(gòu)來估計(jì)期望信號(hào) ，…， ，…， 。對(duì) 的估計(jì)可表示成 式(2.2.1.1)
估計(jì)誤差 - 式(2.2.1.2)
根據(jù)最小二乘法， (n)的最佳值應(yīng)該使下列累計(jì)平方誤差性能函數(shù)為最小 式(2.2.1.3) ， 其中0< <1， 稱為遺忘因子。使用前加窗法，只用 的前 個(gè)誤差，則 式(2.2.1.4)
前加窗法最小二乘性能函數(shù)為 式(2.2.1.5)
其中 。 引入m維矢量： 式(2.2.1.6)，而 維矩陣： 式(2.2.1.7)
式(2.2.1.8)
的最佳值滿足方程 式(2.2.1.9)
從而有 式(2.2.1.10)
最終得到最小二乘算法的最后方程 式(2.2.1.11)
2.2.2 遞推最小二乘(RLS)算法
由于最小二乘法的運(yùn)算量較大，一般不適合實(shí)時(shí)濾波，采用遞推算法可以減少運(yùn)算量。
由式(2.2.1.11)有 式(2.2.2.1)
根據(jù)式2.2.1.7得 式(2.2.2.2)
對(duì)矩陣求逆得 式(2.2.2.3)
其中 為一純量。 矩陣 式(2.2.2.4)
N維矢量 ， 為增益系數(shù) 式(2.2.2.5)
由式2.2.2.4和式2.2.2.5逆推式2.2.2.3可得
式(2.2.2.6)
利用式2.2.2.6，就可以用遞推的方式求m m維矩陣 的逆，使運(yùn)算量降低。
式2.2.2.6兩端乘以 ，利用式2.2.2.5可得
式(2.2.2.7)
另外，根據(jù)式2.2.1.6可得 式(2.2.2.8)
將式2.2.2.4，式2.2.2.6,式2.2.2.8代入式2.2.1.11就可以得到
式(2.2.2.9)
利用式2.2.2.5和式2.2.2.9的最后兩項(xiàng)可簡(jiǎn)化為 ，而式2.2.2.9的前兩項(xiàng)中的 即為 。所以由式2.2.2.9可得
式(2.2.2.10)
這即為遞推最小二乘(RLS)算法的遞推公式。
下圖為RLS算法的流程圖：
2.2.3 RLS算法的參數(shù)分析
RLS算法具體實(shí)現(xiàn)需要以下計(jì)算式： ； ；
； = ；
；其中 個(gè)參數(shù)意義與LMS相同，新增個(gè)參數(shù)意義為 ：反相關(guān)矩陣； (n)：增益向量； ：遺忘因子。
在RLS算法中遺忘因子是一個(gè)接近1但是小于1的正數(shù)，一般來說介于0.95到1之間。使用遺忘因子的目的在于把接近目前時(shí)間點(diǎn)的信息乘上越大的權(quán)值，而離目前時(shí)間點(diǎn)越遠(yuǎn)的信息乘上越小的權(quán)值，也就是說，我們重視較近時(shí)間點(diǎn)的信息甚與較遠(yuǎn)時(shí)間點(diǎn)的信息。若等于1，則表示對(duì)所有的信息都一樣，其權(quán)值都是相同的。
2.2.4 RLS算法Matlab仿真分析
圖2.2.4.1
上圖分別為輸入信號(hào)，輸出信號(hào)和誤差信號(hào)的曲線，可以看出輸出信號(hào)在經(jīng)過一段時(shí)間的自適應(yīng)調(diào)整后，便能基本達(dá)到跟蹤，濾波的效果。從誤差信號(hào)曲線也可以看出這點(diǎn)，誤差輸出經(jīng)過一段時(shí)間就趨于穩(wěn)定。
圖2.2.4.2
上圖為誤差平方的均值曲線，大約在t=300時(shí)，誤差趨于收斂，系統(tǒng)完成自適應(yīng)過程。
以上就是圍繞對(duì)RLS算法的分析，著重討論了RLS算法推導(dǎo)，具體實(shí)現(xiàn)的相關(guān)公式以及運(yùn)用matlab軟件對(duì)其進(jìn)行仿真。
2.2.5 RLS算法與LMS算法的比較分析
RLS算法能夠在很短的時(shí)間內(nèi)就趨于收斂，而LMS算法則有一個(gè)比較長(zhǎng)的漸變過程，所以RLS的跟蹤性能要優(yōu)于LMS，這可以從圖2.1.5.1和圖2.2.4.1看出。換句話說，RLS比LMS的收斂速度要快�？梢酝ㄟ^下圖看出：
上圖藍(lán)色是LMS收斂曲線，紅色為RLS收斂曲線�？梢钥闯雒黠@RLS收斂性要優(yōu)于LMS算法。
而且LMS在收斂后波形還有較大波動(dòng)，而RLS就要小的多，基本沒有波動(dòng)，這說明RLS的穩(wěn)態(tài)誤差也是小于LMS的，從圖2.1.5.3和圖2.2.4.2可以看出。但是由于LMS計(jì)算量簡(jiǎn)單，適合于硬件實(shí)現(xiàn)，這是RLS無法相比的。所以二者各有優(yōu)劣。(以上LMS和RLS算法仿真均采用相同的外界信號(hào)及采樣時(shí)間點(diǎn))
2.3 歸一化LMS算法(NLMS)
2.3.1 NLMS算法實(shí)現(xiàn)
NLMS算法是將LMS算法中的 值重新定義，讓 值會(huì)隨輸入信號(hào)之正規(guī)化作改變，能提升收斂的穩(wěn)定性。下面為NLMS算法實(shí)現(xiàn)所需的計(jì)算式：
； ； ； ；
各參數(shù)的定義和LMS算法定義相同，新增參數(shù)的定義為 ：很小的正常數(shù)，一般取 =1e-10。
LMS算法的穩(wěn)定度和收斂速率受到 值和參考信號(hào)的影響，由于 值為一固定值，因此LMS的整體收斂速率就受它的影響，收斂速率對(duì)變化較快的信號(hào)反應(yīng)并不理想。而NLMS算法能改善輸入信號(hào)對(duì)收斂因子的影響， 值隨著時(shí)間n變化成為 (n)，使之隨時(shí)變化，從而調(diào)節(jié)至最佳值。另外為了避免當(dāng)輸入信號(hào)過小時(shí)造成收斂因子的發(fā)散，還加入 值。
下圖為NLMS算法的流程圖：
SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT
2.3.2 NLMS算法的Matlab仿真分析
圖(2.3.2.1)
圖(2.3.2.2)
由圖2.3.2.1和圖2.3.2.2可以看出NLMS算法的自適應(yīng)濾波過程及誤差收斂情況，而且相比LMS算法在相同條件下，NLMS算法要比LMS算法收斂更快一些。這是因?yàn)镹LMS算法的計(jì)算量與LMS相當(dāng)，但是由于NLMS算法的收斂條件與輸入信號(hào)的特征值無關(guān)，故NLMS算法比LMS算法的收斂速率快。
下圖可以看出二者收斂的差別：
圖4.2.3 LMS的誤差收斂
圖4.2.4 NLMS的誤差收斂
LMS算法中大約在t=600時(shí)開始收斂，而NLMS則是在大約t=400時(shí)開始收斂。明顯NLMS的收斂速度要快與LMS。
3自適應(yīng)信號(hào)處理的應(yīng)用及Matlab仿真
3.1 中的自適應(yīng)噪聲抵消
在通信和其他許多信號(hào)處理應(yīng)用問題中，接受信號(hào)中往往伴隨著干擾和噪聲，從而顯著影響接受信號(hào)的可靠性，或者導(dǎo)致誤碼率上升。一般來說，干擾和噪聲的存在總是難免的。信號(hào)處理技術(shù)的核心問題之一就是從受到干擾污染的信號(hào)中估計(jì)，檢測(cè)或者恢復(fù)出原始信號(hào)。而自適應(yīng)噪聲抵消的基本原理就是將被噪聲污染的信號(hào)與參考信號(hào)進(jìn)行抵消運(yùn)算，從而消除帶噪信號(hào)中的噪聲。其關(guān)鍵問題是自適應(yīng)噪聲抵消系統(tǒng)的參考信號(hào)一定要與待消除的噪聲具有一定的相關(guān)性，而與要檢測(cè)或者提取的信號(hào)不相關(guān)。自適應(yīng)噪聲抵消系統(tǒng)經(jīng)過自適應(yīng)系統(tǒng)的控制和調(diào)整，系統(tǒng)能夠有效地從噪聲中恢復(fù)出原始信號(hào)。
作為自適應(yīng)信號(hào)處理領(lǐng)域的重要分支之一，它已經(jīng)受到了人們的普遍關(guān)注并得到了廣泛的應(yīng)用。
3.1.1 自適應(yīng)噪聲抵消系統(tǒng)的基本原理
下圖為典型自適應(yīng)噪聲抵消系統(tǒng)的原理框圖：
圖3.1.1 自適應(yīng)噪聲抵消系統(tǒng)
在圖3.1.1中，原始輸入信號(hào)d(n)為有用信號(hào)s(n)與噪聲v(n)之和,參考輸入信號(hào)x(n)是與v(n)相關(guān)的噪聲u(n)。假定s(n)，v(n)，u(n)均為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，且滿足s(n)與v(n)及u(n)互不相關(guān)。由圖3.1.1可見，自適應(yīng)濾波器的輸出 為噪聲u(n)的濾波信號(hào)。則整個(gè)自適應(yīng)噪聲抵消系統(tǒng)的輸出y(n)為
式(3.1.1.1)
而 式(3.1.1.2)
對(duì)式(3.1.1.2)兩邊取期望，由于s(n)與v(n)及u(n)互不相關(guān)，且s(n)與 也不相關(guān)，故有
式(3.1.1.3)
信號(hào)功率 與自適應(yīng)濾波器的調(diào)節(jié)無關(guān)，因此，調(diào)節(jié)自適應(yīng)濾波器使 最小，等價(jià)于使 最小。這樣由式(3.1.1.1)，有 式(3.1.1.4)
由此可見，當(dāng) 最小時(shí)， 也達(dá)到最小，即自適應(yīng)噪聲抵消系統(tǒng)的輸出信號(hào)y(n)與有用信號(hào)s(n)的均方誤差最小。
在理想情況下，當(dāng) 時(shí)，有 。這時(shí)，自適應(yīng)濾波器自動(dòng)地調(diào)節(jié)其權(quán)值，將u(n)加工成v(n)，與原始輸入信號(hào)d(n)中的v(n)相減，使輸出信號(hào)y(n)的噪聲完全被抵消，而只保留有用信號(hào)s(n)。但是自適應(yīng)濾波器能夠完成上述任務(wù)的必要條件為：參考輸入信號(hào) 必須與被抵消的噪聲v(n)相關(guān)。
3.1.2 自適應(yīng)噪聲抵消系統(tǒng)Matlab仿真
以下仿真采用圖3.1.1的結(jié)構(gòu)，分別運(yùn)用LMS，NLMS和RLS循環(huán)算法進(jìn)行噪聲消除。
圖3.1.2
仿真得出三種自適應(yīng)濾波算法提取正弦信號(hào)的曲線圖�？梢钥闯鱿到y(tǒng)能基本還原出原始信號(hào)，達(dá)到噪聲抵消的效果。但是用RLS算法提取的正弦信號(hào)質(zhì)量要好，其中LMS算法提取的信號(hào)效果最差，存在沒有濾除的隨機(jī)噪聲部分較多，而NLMS算法要比LMS的效果要好，但比起RLS算法在估計(jì)精度上有些波動(dòng)，存在一定的殘余誤差，即有一定失調(diào)。
3.2 自適應(yīng)陷波濾波器
在通信系統(tǒng)和其他系統(tǒng)中，經(jīng)常會(huì)受到諸如50Hz工作頻率等單頻干擾或者窄帶干擾的影響。這種干擾的存在，嚴(yán)重影響了信號(hào)的接收或者檢測(cè)的可靠性和正確性，因此必須加以消除。陷波濾波器是消除這種干擾的有力工具，當(dāng)自適應(yīng)噪聲抵消系統(tǒng)的參考輸入為單一頻率正弦信號(hào)時(shí)，則系統(tǒng)可以構(gòu)成自適應(yīng)陷波濾波器。
3.2.1 自適應(yīng)陷波濾波器的原理
自適應(yīng)陷波濾波器具有陷波中心頻率，且該頻率與其參考輸入的正弦信號(hào)的頻率相同。另一方面，自適應(yīng)陷波濾波器還能夠隨著干擾頻率的變化，自動(dòng)地修正系統(tǒng)自身參數(shù)來跟蹤這種變化。典型的單一頻率自適應(yīng)陷波濾波器的原理圖如圖(3.2.1)所示，圖(3.2.1)表示一個(gè)具有兩個(gè)自適應(yīng)實(shí)權(quán)的自適應(yīng)噪聲對(duì)消器。它等效于有一個(gè)復(fù)權(quán)的噪聲對(duì)消系統(tǒng)，即用兩個(gè)實(shí)權(quán)達(dá)到同時(shí)調(diào)整單一頻率正弦波的幅度和相位，以消除干擾的目的。假定原始輸入信號(hào)的類型是任意的，而參考輸入是頻率為f的純正弦波，即
式(3.2.1.1)
圖中第一個(gè)權(quán)的輸入直接由參考輸入采樣得到，而第二權(quán)的輸入是將第一個(gè)權(quán)輸入移相 產(chǎn)生。即它們可分別表示為
式(3.2.1.2)
SHAPE \* MERGEFORMAT
圖(3.2.1)
其中 ，權(quán)的迭代用LMS算法，如下式所示，權(quán)的修正過程如下：
式(3.2.1.3)
3.2.2 自適應(yīng)陷波濾波器Matlab仿真分析
圖6.3.2
上圖可以看出經(jīng)過正弦信號(hào)干擾的原始信號(hào)，在通過自適應(yīng)陷波濾波器后，基本達(dá)到噪聲消除的效果。上圖中第一個(gè)圖為原始信號(hào)，第二個(gè)為經(jīng)過正弦信號(hào)干擾后的信號(hào)，第三個(gè)為消噪后的信號(hào)，第四個(gè)為誤差信號(hào)曲線。
3.3 自適應(yīng)預(yù)測(cè)
3.3.1 自適應(yīng)預(yù)測(cè)的基本思想
要得到預(yù)測(cè)系數(shù)，必須獲得輸入信號(hào)采樣值的相關(guān)函數(shù)矩陣，而實(shí)際上它不是一個(gè)定值，是時(shí)變的，所以就要求必須自適應(yīng)調(diào)整預(yù)測(cè)系數(shù)，以保持最佳的預(yù)測(cè)增益。求相關(guān)函數(shù)的簡(jiǎn)單方法是，先采樣并存儲(chǔ)一個(gè)定長(zhǎng)時(shí)間間隔的信號(hào)值，計(jì)算這些采樣值的自相關(guān)函數(shù)，然后確定最佳的預(yù)測(cè)系數(shù)。預(yù)測(cè)器每隔規(guī)定的時(shí)間間隔更新依次存儲(chǔ)的采樣數(shù)據(jù)，并且每次將計(jì)算的預(yù)測(cè)參數(shù)發(fā)送到接收端。通過上述方法動(dòng)態(tài)調(diào)整預(yù)測(cè)參數(shù)，在存儲(chǔ)采樣值時(shí)間間隔較長(zhǎng)或每次存貯采樣值個(gè)數(shù)較大的情況下，可以獲得很大的預(yù)測(cè)增益。這就是自適應(yīng)預(yù)測(cè)器的基本思想。
忽略量化噪聲的影響，預(yù)測(cè)誤差函數(shù)
式(3.3.1.1)
需要說明，考慮到實(shí)際系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性，可以用誤差函數(shù)的量化值 。調(diào)整預(yù)測(cè)系數(shù)使誤差函數(shù)向負(fù)梯度的方向變化，即
式(3.3.1.2)
式中，sgn[]是符號(hào)函數(shù)， 是預(yù)測(cè)系數(shù)自適應(yīng)速率，需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)確定其最佳值。也可以考慮用平方差值函數(shù)確定預(yù)測(cè)系數(shù)，即
式(3.3.1.3)
自適應(yīng)預(yù)測(cè)器的實(shí)現(xiàn)比較復(fù)雜，但是，當(dāng)信號(hào)采樣值相關(guān)距離大或信號(hào)特性的平穩(wěn)性不佳，無法獲得確切和恒定的相關(guān)系數(shù)的情況下，自適應(yīng)預(yù)測(cè)是較理想的預(yù)測(cè)方法。
在許多情況下，一個(gè)寬帶信號(hào)既受到周期性干擾的污染，又沒有無信號(hào)的外部參考輸入可以利用。此時(shí)，可以直接從原始輸入引出，接入一具有固定延遲的延遲線，則可得到類似的參考輸入支路。這種結(jié)構(gòu)實(shí)際上是一個(gè)自適應(yīng)預(yù)測(cè)器。
下圖仿真采用的是線性預(yù)測(cè)濾波方法抑制窄帶干擾的算法。
3.3.2 自適應(yīng)預(yù)測(cè)的Matlab仿真
圖3.3.2
由上圖可以看出預(yù)測(cè)信號(hào)在經(jīng)過一段自適應(yīng)過程后能夠很好的跟蹤接收信號(hào)，達(dá)到預(yù)測(cè)效果。
3.4 自適應(yīng)均衡
3.4.1 自適應(yīng)均衡的基本原理
自適應(yīng)均衡器的工作過程包含兩個(gè)階段，一是訓(xùn)練過程，二是跟蹤過程。在訓(xùn)練過程中，發(fā)送端向接收機(jī)發(fā)射一組已知的固定長(zhǎng)度訓(xùn)練序列，接收機(jī)根據(jù)訓(xùn)練序列設(shè)定濾波器參數(shù)，使檢測(cè)誤碼率最小。典型的訓(xùn)練序列是偽隨機(jī)二進(jìn)制信號(hào)或一個(gè)固定的波形信號(hào)序列，緊跟在訓(xùn)練序列后面的是用戶消息碼元序列。接收機(jī)的自適應(yīng)均衡器采用遞歸算法估計(jì)信道特性，調(diào)整濾波器參數(shù)，補(bǔ)償信道特性失真，訓(xùn)練序列的選擇應(yīng)滿足接收機(jī)均衡器在最惡劣的信道條件下也能實(shí)現(xiàn)濾波器參數(shù)調(diào)整，所以，訓(xùn)練序列結(jié)束后，均衡器參數(shù)基本接近最佳值，以保證用戶數(shù)據(jù)的接收，均衡器的訓(xùn)練過程成功了，稱為均衡器的收斂。在接收用戶消息數(shù)據(jù)時(shí)，均衡器還需要不斷跟蹤信道特性的變化并隨信道特性的變化連續(xù)地改變均衡器參數(shù)。
3.4.2 自適應(yīng)均衡器的實(shí)現(xiàn)
下面討論自適應(yīng)均衡器的具體實(shí)現(xiàn)。我們知道信道均衡器均衡器的作用是在信道通帶內(nèi)形成一個(gè)信道傳輸函數(shù)的逆，而在通帶之外它的增益則很小或者為零。因而，由信道和均衡器級(jí)聯(lián)組成的系統(tǒng)在通帶內(nèi)有基本均勻的振幅特性，而帶外基本為零，相位響應(yīng)在帶內(nèi)是頻率的線性函數(shù)。如果條件滿足，聯(lián)合沖激響應(yīng)就是辛格函數(shù)，符號(hào)間干擾可以消除。自適應(yīng)調(diào)整也解決了信道本身未知，時(shí)變的特性所帶來的困難。下圖3.4.2為自適應(yīng)均衡器的基本結(jié)構(gòu)。
SHAPE \* MERGEFORMAT
圖3.4.2
逆模擬用一個(gè)自適應(yīng)橫向?yàn)V波器(LMS濾波器)，由于輸入x(k)的信號(hào)帶寬受信道帶寬的限制，因而，自適應(yīng)濾波器僅需在信道的通帶內(nèi)去均衡信道的振幅和相位特性。如果能知道信道的輸入，并考慮到整個(gè)系統(tǒng)的延遲，就可得到期望響應(yīng)d(k)，但是一般是難于獲得的。周期性地中斷信息傳輸，發(fā)射一些已知的碼序列，便可以進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。
貝爾電話實(shí)驗(yàn)室的拉克提供了一種得到期望響應(yīng)d(k)的方法，這種方法用自適應(yīng)濾波器自身輸出提供d(k)，因此避免了對(duì)發(fā)射信號(hào)任何先驗(yàn)信息的依賴，拉克稱該方法為“判決指向?qū)W習(xí)”。更確切地說，期望信號(hào)d(k)=sgn y(k)，如圖3.4.2所示，它是由一個(gè)量化濾波器產(chǎn)生的。由于數(shù)據(jù)是二進(jìn)制的，若不考慮噪聲影響，則經(jīng)適當(dāng)均衡了的信道在選通時(shí)間內(nèi)的取樣輸出為+1或-1，然后將濾波器輸出和經(jīng)量化后的輸出比較，產(chǎn)生誤差信號(hào)e(k)。由于均衡器輸出應(yīng)該在適當(dāng)?shù)倪x通時(shí)間內(nèi)唯一地表示各自的辛格脈沖，因而自適應(yīng)只許在選通時(shí)間內(nèi)進(jìn)行，這可用與發(fā)射信號(hào)同步的閘門脈沖對(duì)誤差信號(hào)e(k)選通來實(shí)現(xiàn)。從平均意義上來說，如果量化后的期望響應(yīng)是正確的，則自適應(yīng)將沿著正確的方向進(jìn)行。
3.4.3 自適應(yīng)均衡器的Matlab仿真
下面將采用上述的實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行matlab仿真，可以看出自適應(yīng)均衡器對(duì)消除信道的干擾的作用。
圖3.4.3.1
下圖是對(duì)自適應(yīng)均衡器在不同信噪比下誤碼率的仿真，能進(jìn)一步說明自適應(yīng)均衡器的作用。采用50萬點(diǎn)仿真誤碼率：
圖3.4.3.2
上圖中虛線部分是沒有經(jīng)過均衡器的誤碼率曲線，實(shí)線部分是經(jīng)過自適應(yīng)均衡后誤碼率曲線，可以看出信號(hào)在經(jīng)過自適應(yīng)均衡后，誤碼率在逐漸下降，減少了接收信號(hào)的誤碼數(shù)，說明自適應(yīng)均衡器能補(bǔ)償信道特性的損失，從而提高了信道的穩(wěn)定性。仿真也有不足之處，即曲線不夠平滑。主要是由于仿真采用的是蒙特卡洛仿真，一般要求仿真點(diǎn)數(shù)達(dá)到幾百萬點(diǎn)。這里由于運(yùn)行速度慢，只采用了50萬點(diǎn)。
本章介紹了自適應(yīng)信號(hào)處理的相關(guān)應(yīng)用，隨著信號(hào)處科領(lǐng)域理論與技術(shù)的不斷進(jìn)步，自適應(yīng)信號(hào)處理已成為信號(hào)與信息處理學(xué)科一個(gè)新的重要學(xué)科分支，相信它在諸如、雷達(dá)、聲納、控制、地震勘探及生物工程等領(lǐng)域會(huì)獲得越來越廣泛的應(yīng)用。
結(jié)束語
根據(jù)自適應(yīng)處理系統(tǒng)的濾波器部分和調(diào)整濾波器系統(tǒng)的自適應(yīng)算法部分，本文分別對(duì)其進(jìn)行了闡述，并舉例說明了自適應(yīng)處理系統(tǒng)的一些應(yīng)用。
本文完成的工作主要分為：
(1)在學(xué)習(xí)和前人工作的基礎(chǔ)上，對(duì)LMS，RLS，NLMS,以及格型算法進(jìn)行了詳細(xì)的說明和推導(dǎo)，分析了LMS與RLS算法，LMS與NLMS算法在各自特點(diǎn)和性能上的差異。提出了自適應(yīng)LMS算法在噪聲抵消，自適應(yīng)預(yù)測(cè)和自適應(yīng)均衡上應(yīng)用，分析了這些應(yīng)用的具體實(shí)現(xiàn)及相關(guān)收斂，穩(wěn)態(tài)特性和參數(shù)說明。
(2)通過對(duì)各種自適應(yīng)算法進(jìn)行總結(jié)，對(duì)比和驗(yàn)證，利用matlab對(duì)算法進(jìn)行仿真，比較相關(guān)收斂特性，穩(wěn)態(tài)特性和相關(guān)參數(shù)取值，得出各自算法的優(yōu)劣性。
(3)利用matlab對(duì)LMS算法在自適應(yīng)處理系統(tǒng)上的應(yīng)用分別作了仿真，驗(yàn)證系統(tǒng)的可行性。
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