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淺談3的倍數的特征教學片斷與思考
導讀:：在學習“3的倍數的特征”的過程中該如何處理好前面的學習經驗與后繼學習的關系?如何結合學習的內容。
關鍵詞：“3的倍數的特征”
3的倍數的特征迥然區別于2、5倍數的特征，即使同樣是運用不完全歸納的方法，3的倍數的特征的發現過程亦與2、5倍數的特征的發現過程有著顯著的差異。從某種意義上講，2、5倍數的特征的探索活動，對探索3的倍數的特征具有一種負遷移作用。那么，在學習 “3的倍數的特征”的過程中該如何處理好前面的學習經驗與后繼學習的關系?如何結合學習的內容，合理設計探究的臺階，使“3的倍數的特征”的發現過程成為一個學生在教師的有效指導與引領下，結合原有知識經驗與方法策略有效探索、自主建構知識的過程?這成了在教學設計中需要突破的一個難點。
在變易教學理論的指導下，我確定了“教師指導下的學生自主探索”的教學指導思想，為學生提供可操作探究的問題情境，引導學生結合原有的知識經驗和方法策略在教師的指導和引領下展開探索，讓學生在3的倍數特征的本質屬性的甄別發現中自主建構知識的意義，并在經歷更為有效的探究活動的過程中，積累寶貴的數學活動經驗，得到探究數學問題有效思維方法的訓練，積淀基本的數學思想科技，提升這一內容的教學價值。
【教學片斷】
師：前面我們學過了2、5的倍數的特征。你能用3、5、6三個數字組成是2的倍數的三位數嗎?
生：356 536
師：要使寫成的數是2的倍數，要注意做到什么?
生：這個三位數的個位上只能是6，因為只有個位是偶數的數才是2的倍數。
師：再用這三個數字你能寫出幾個是5的倍數的三位數?
生：365 635
師：寫5的倍數又要注意什么?
生：個位上只能是0或5。
師：你還能用這三個數寫出是3的倍數的三位數嗎?
生1：(快速而興奮地回答)能。
師：你來說說看。
生1：653563 356 536
師：你能這么快就寫出了四個數，能跟大家說說你是怎么想的嗎?有什么樣的規律嗎?
生1：我是從前面寫2、5的倍數的方法得到啟發的。是2的倍數的數個位上都是2的倍數，是5的倍數的數個位也都是5的倍數，所以我覺得個位上是3的倍數的數就應當是3的倍數。
師：你很善于思考，能從前面學過的方法去學習新的知識。這是一種以舊學新的方法。同學們，你們覺得他這種想法有道理嗎?
(有生在思考，有生開始動筆算)
生2：(稍有困惑)我覺得行。
生3：我剛算了一個，好像不行。653除以3不能得到一個整數的商，也就是說653不是3的倍數。
師：對，算一算，驗證一下，這是最有說服力的方法。我們一起來驗證一下?
(生紛紛動手計算驗證，發現生1寫出的4個數都不是3的倍數，每個數除以3都有余數2)
師：看來3的倍數不像2、5的倍數那樣容易判斷。那3的倍數又有什么新的特征呢?你們想不想知道?
生：想!
師：這節課我們就來研究3的倍數的特征。(揭示課題)
師：我們先來做一個游戲。任意用幾根小棒在數位表上擺出一個數，比如用8根小棒可以擺出26、53、125……，再算一算驗證一下擺出的數是不是3的倍數。多擺幾次，再把你的驗證結果和你的發現跟組內的同學交流。
|
小棒根數 |
組成的數 |
是否是3的倍數 |
(學生動手操作驗證)
全班交流，教師板書：
|
小棒 根數 |
組成的數 |
是否是 3的倍數 |
|
3 |
3 12 21 30 102 |
√ |
|
4 |
4 31 22 13 202 301 |
× |
|
5 |
5 23 41 32 122 221 |
× |
|
6 |
6 42 33 60 51 231 204 222 |
√ |
|
7 |
7 25 16 43 70 124 232 502 |
× |
|
8 |
8 26 44 71 233 404 710 341 |
× |
|
9 |
9 27 63 54 81 216 324 513 |
√ |
|
… |
… |
… |
師：從剛才我們舉出的這些數中，你發現了什么?
生1：我發現那些是3的倍數的數有偶數也有奇數，說明3的倍數跟數的奇偶性沒有關系。
生2：我也發現那些3的倍數的數的個位不一定是3的倍數，所以我想不能像找2、5的倍數那樣從個位上去判斷一個數是不是3的倍數。
師：那我們剛才找到的這些3的倍數有沒有共同的特征呢?不能從個位上去判斷，那有沒有其它方法可以判斷呢?
生3：我發現用3根、6根、9根、12根擺出的數都是3的倍數。
師：為什么3根、6根、9根、12根擺出的數都是3的倍數呢?這是一種巧合嗎?
生4：我們用3根、6根、9根、12根擺了這么多數，這應當不是一種巧合。
生5：我想如果小棒的根數是3的倍數，那擺出來的數就是3的倍數。
師：3根、6根、9根、12根這些根數跟3有什么關系?
生：3、6、9……這些數都是3的倍數。
師：小棒的根數表示的是擺出來這些數的什么?
生6：小棒的根數是擺出來的每個數各個數位上數字的和。
師：我們再來觀察剛才找到的這些是3的倍數的每一組數，在每組數中有什么共同的規律?在用同樣多的小棒擺出的這些數中，什么變了，什么沒變?
生7：用同樣多的小棒擺數，擺成的數的大小不同，但每個數各個數位上的數字的和是一樣的。
生8：(興奮地說)我發現了，如果一個數各個數位上的數字加起來的和是3的倍數這個數就是3的倍數。
生7：我也發現了如果一個數的各位上數字的和不是3的倍數這個數就不是3的倍數。
師：是這樣的嗎?我們大家一起來驗證一下。
(生從表中選數驗證)
師：我們剛才擺出那么多數，有一位數、兩位數、三位數，從這些數中我們的確能得出這樣一個結論。但我覺得這些數還不夠大，如果一個五位數、六位數或者更大的數，是否也有這樣的特征呢?你能寫一個大數自己再驗證一次嗎?
(生寫數驗證)
交流：
生1：我寫了785621020，把這個數各數位上數字相加的和是31，31不是3的倍數，我再用這個數除以3，發現也不能剛好得到整數的商，也就是說這個數不是3的倍數。
生2：我寫了100005，把這個數各數位上的數字相加和是6，6是3的倍數，再用這個數去除以3，商也剛好是整數，而且沒有余數。說明這個數的確是3的倍數;
……
師：同學們，你們自己寫數驗證的結果，跟剛才我們的發現相符合嗎?
生：符合
師：那我們現在能不能證實剛才發現的這個規律是可行的，通用的?你對我們發現的這個規律還有疑問嗎?
生：沒有了。我想拿這個規律來判斷一個數是不是3的倍數是可行的了。
師：好，那我們一起來把剛才發現的這個規律用一句完整的話表述出來。
生1：把一個數各個數位上的數字加起來，如果這個和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
生2：一個數各數位相加，和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
師：同學們歸納的都很完整，我們來看看課本上是怎么總結的。(生齊讀課本)
【片斷反思】
處理這一內容，首先必須讓學生發現并感知3的倍數的特征與2、5倍數的特征的不同，讓學生跳出已有經驗的束縛，引發學生探究的欲望。變易理論提出：為了認識某個事物，就必須注意到這個事物與其它事物之間的不同。為了留意這個事物與其它事物在某個屬性上的不同，這個屬性就必須在某個維度上發生變化。在所有其它屬性都保持不變的情況下，這個差異才可以被識別出來。基于這樣的認識，本課在導課設計中，設計了用3、5、6三個數字分別寫2、5、3的倍數的情境，旨在讓學生深刻感受到3的倍數特征與2、5倍數的特征在本質屬性上的差異。2、5倍數有一共同的特征屬性，就是這些數的個位都是2或5的倍數。在學生用前課習得的方法去解決寫3的倍數的問題這一過程中，“不變”的是“用3、5、6三個數字寫數”這一事件，“變”的是“寫幾的倍數”這一維度。這樣當學生在同一事件中用“不變”的方法解決新的問題發現不可行時，便會自主反思科技小論文發表論文，主動意識到3的倍數特征與2、5倍數的特征這兩類事物在本質屬性上存有不同。促使學生跳出已有解決問題經驗，喚起學生面對問題，尋求新方法的探究欲望。
變易理論認為：學習和獲取知識不是從簡單(或部分)到復雜和高級形式(或整體)的過程，而是從“對整體和部分的理解由模糊、零散到逐漸清晰完整的過程。”關鍵屬性及其關系的識別決定了學習的效果。為了幫助學生學習，“教師必須確認事物的關鍵屬性，并幫助學生識別，以使他們有意識地理解事物。”為此，在接下來的探求3的倍數特征的活動中，教師精心設計了一個用小棒擺數的操作活動，為學生的探究提供素材，搭建平臺。在用小棒擺數的活動中，“不變”的是“小棒的根數(各數位上數字的和)”，“變”的是“擺成的數的大小”，為學生能較快地發現3的倍數特征的本質屬性作了鋪墊。為讓學生能從擺成的眾多數中觀察識別出3的倍數的特征，教師依據變易理論“變與不變”的范式(如對比、分離)引導學生進行觀察分析討論，在觀察對比中發現3的倍數與數的奇偶性無關、與個位上數字是否是3的倍數也無關，從而將這些影響學生識別3的倍數特征的非本質屬性分離出去。并將學生的視角引向擺成3的倍數這些數所用小棒根數這一關鍵特征上來。“小棒的根數表示的是擺出來這些數的什么?”撥云見日，再一次將3的倍數特征的外在屬性進行分離，暴露內核，“各數位上數字之和”這一本質屬性清晰可見。大數的自我舉證，進一步深刻了學生對這一本質屬性的識別。整個探究過程抽絲剝繭，層層遞進，目標達成水到渠成。
整個教學過程，選材簡單，程序簡潔，力在運用“變與不變”的范式促進學生學習，教師通過深入解讀課本，把握知識內核，巧用學習材料，有效指導引領，實現了知識路線和思維路線清晰遞進，知識習得與思維訓練雙重并舉，學法指導與能力培養有機結合，成就了一節有品味的好課。
作者簡歷：
邵小定科技小論文發表論文，男，1978年生，大學本科學歷，小學高級教師。現任安徽省績溪縣長安中心小學副校長。
1995年9月參加工作以來，一直擔任小學中高年級數學學科教學，潛心鉆研業務，不斷更新教學觀念，積極投身教學改革，在優化課堂教學模式，挖掘學生思維潛能，提高課堂教學有效性，引導學生樂學、善學等方面積累了一定的經驗。曾以課題組主要成員三次參與省級小學數學教學研究課題，有研究成果獲省二等獎。有多篇論文在省、市級獲獎，兩篇在市級專業刊物上發表，教學課例《樸實無華方顯課堂本色》在《中小學數學(小學版)》雜志上發表。數學優質課獲縣一等獎。2003年被評為縣首批小學數學骨干教師，2004年被評為縣“教壇新星”，2005年被評為宣城市“模范教師”，2010年獲全市小學數學教師教學能力測試第一名。
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