中國特有的娛樂性節日——大光棍節來啦!
每年的1月1日、1月11日和11月1日、11月11日分別被年輕人稱為小光棍節、中光棍節和大光棍節，各種商業性和娛樂性活動將陸續展開。
作為數學愛好者，在中國我們可以把全部由阿拉伯數字1構成(即形如11…1)的十進位制自然數，定義為“光棍數”(英文叫“repunit number”，可翻譯為“疊一數”)，除光棍數外的其他非0自然數可定義為“非光棍數”。例如，1，11，11111都是光棍數。1是一位光棍數，11是二位光棍數，1111是四位光棍數。1112是非光棍數。
1是第一個光棍數，是0的后繼數，是自然數產生的基礎。按照老子的說法，道生一，一生二，二生三，三生萬物。1是單位數。1的任何次方都是1。任何必然發生事件的概率都是1。
11是第二個光棍數，是自然數中的第5個質數，它的倒數的循環周期為2。11的平方(121)、三次方(1331)和四次方(14641)與兩項代數式的平方、三次方和四次方的系數一致。
111是第三個光棍數。111不是質數，能被3和37整除，所以3，6，…，27乘以37都能快速得到結果，分別為111，222，…，999。由1和質數組成的最小幻方(31,73,7;13，37，61;67,1,43)的幻和為111。由自然數1到36組成的六階幻方中，幻和也是111。
1111是第四個光棍數，它是最不像光棍的數，因為它看起來更像兩個人使用的兩雙筷子。1111不是質數，是最小的二位數質數11與最小的三位數質數101的乘積。
所有的光棍數都是回文數。任何光棍數都是可以表示為相鄰兩個自然數平方之差。除11外的其他偶位光棍數都不是質數。隨著光棍數位增加，質數越來越少，萬位光棍數以內，只有兩位、十九位、二十三位、三百一十七位、一千零三十一位光棍數是質數。
以下是筆者收羅或者改編的一些關于光棍數的數學題，分享給大家，以撩起大家對數學的興趣。特別地，如有光棍在光棍節里無人作陪，那么通過解答這些光棍數的趣味題打發時光，在不知不覺中度過晚上11點11分，也是一種選擇。
(1)計算：n(n小于等于10)位光棍數的平方后得到的非光棍數。例如，二位光棍數11的平方=121。
(2)計算：求1+11^11+111^111+...+1111111111^1111111111的后兩位數字(^表示乘方)。
(3)計算：2014年11月1日是星期六，過111^111天是星期幾?2014年11月11日是星期二，過1111^1111天是星期幾?
(4)計算：20141111是一個非光棍數。如何將若干個光棍數，只通過加減乘除和括號進行四則運算，變成20141111。當然希望所用的光棍數越少越好。例如，3=1+1+1，用了3個光棍數;121=11×11，用了2個光棍數。
(5)計算：999999999乘上一個最小的非光棍數，可以變成光棍數。求這個最小的非光棍數。
(6)計算：對從二位光棍數到十位光棍數的9個光棍數進行質因數分解。
(7)計算：要使形如20142014...2014的非光棍數能被兩位光棍數整除，2014的個數最少是多少?
(8)證明：有n位光棍數盞燈，從左到右排成一橫行。我們給電燈編上號碼1，2，3，…，(n-1)位光棍數，…，n位光棍數。每一盞燈有一個拉線開關控制著。最初，電燈全是關著的。另外，還有n位光棍數個學生。第一個學生走過來，把凡是號碼是1的倍數的電燈開關拉了一下;接著第二個學生走了過來，把編號是2的倍數的電燈開關拉了一下;第三個人再走過來，把號碼凡是3的倍數電燈的開關拉了一下，如此類推，最后那個學生走了過來，把編號能被n位光棍數整除的電燈開關拉了一下。證明在這樣做過之后，除編號為1的燈外，沒有一盞編號為光棍數的燈是亮著的。
(9)證明：總能找到一個光棍數，能被非光棍數123456789(或者這9個數字任意組成的非光棍數)整除。
(10)判定：有光棍數個完全相同的齒輪，齒輪一個挨一個相互嚙合，直到第一個齒輪和第光棍數個齒輪嚙合，成為閉合的光棍數齒輪系統。請問，這個齒輪系統能否正常工作?
(11)判定：如果已知一位光棍數的線段長度，能否用尺規作圖可以做出一條線段，長度等于若干個光棍數的平方根與若干個光棍數進行加減乘除四則運算后的絕對值。如不能，說明理由;如能，舉例給出二位光棍數平方根與二位光棍數的比值的一種作圖方法。
(12)游戲：有一堆小石子，數量為n位光棍數顆。甲乙兩個人輪番從這堆石子中取出石子，要求每人每次取出的石子顆數都少于某個m位光棍數(m小于n)，直到取完為止。最后無石子可取者為負。問甲乙兩人中，誰有必勝策略，為什么?
(13)操作：將從1到121的121個自然數依順序放入11×11的方格中，使得每格恰好一個數。對相鄰格的兩個數加上或者減去一個相同的數，稱為一次操作。請問，能否經過有限次操作，使得每格的數都變成(1)全都是相同的光棍數;(2)可以是不同的光棍數。如不能，說出理由;如能，寫出一種操作方法。
(14)猜想：數學家高斯能用尺規作圖法，做出正十七邊形，但不能做出正十一邊形。最聰明的數學家不能用尺規作圖法，做出所有邊數為光棍數的正多邊形。
抱歉，我這里沒有抄錄現成答案或者給出改編題的答案。前面13道題目屬于相對比較簡單的初等數學題，只是繁簡程度不同，相信各位能解答。最后一道猜想題，我也沒有解題思路。