2015年碩士學位研究生招生考試業務課考試大綱
考試科目： 數學分析 代碼： 601
考試基本要求
考察考生掌握《數學分析》的基本內容和方法的熟練程度。
考試基本內容
第一章 實數集與函數
1實數：實數及性質;絕對值與不等式.
2數集
確界原理：區間與鄰域;有界集與無界集;上確界與下確界，確界原理.
3函數概念：函數定義;函數的幾種常用表示;函數四則運算;復合函數;反函數;初等函數.
4具有某些特征的函數：有界函數，無界函數;單調函數，單調遞增(減)函數，嚴格單調函數，單調函數與反函數;奇函數與偶函數;周期函數，基本周期.
第二章 數列極限
1極限概念：數列，通項;數列極限定義，數列的收斂與發散性;無窮小數列.
2收斂數列的性質：唯一性;有界性;保號性;保不等式性;迫斂性;四則運算;歸結原則.
3數列極限存在的條件：單調有界定理;柯西收斂準則.
第三章 函數極限
1函數極限的概念：函數極限的幾種形式;左、右極限.
2函數極限的性質：唯一性;局部有界性;局部保號性;保不等式性;迫斂性;四則運算.
3函數極限存在的條件：歸結原則(Heine定理);柯西準則.
4兩個重要極限：
5無窮小量與無窮大量：無窮小量與階的比較、高階無窮小量、同階無窮小量、等價無窮小量;無窮大量;曲線的漸近線(斜漸近線、水平漸近線與垂直漸近線).
第四章 函數連續
1函數連續性概念：函數的點連續性、左(右)連續性概念與極限之間的關系;間斷點及其分類[第一類間斷點(可去間斷點，跳躍間斷點)，第二類間斷點];區間上的連續函數.
2連續函數的性質：連續函數的的局部性質(局部有界性、局部保號性、四則運算、復合函數的連續性);有界閉區間上連續函數的基本性質(有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在定理、一致連續性定理);反函數的連續性.
3初等函數的連續性：基本初等函數的連續性;初等函數的連續性.
第五章 導數與微分
1導數概念：導數定義、單側導數;導函數;導數的幾何意義.
2求導法則：導數的四則運算;反函數導數;復合函數的導數(鏈式法則、對數求導法);基本導數法則與公式.
3參變量函數的導數.
4高階導數：萊布尼茨公式.
5微分：微分的概念;微分運算法則;高階微分;微分在近似計算中的應用.
第六章 微分中值定理及其應用
1拉格朗日中值定理和函數的單調性：羅爾定理與拉格朗日定理;單調函數.
2柯西中值定理和不定式極限：柯西中值定理;不定式的極限.
3泰勒公式：帶有佩亞諾余項的泰勒公式;帶有拉格朗日余項的泰勒公式;在近似計算上的應用.
4函數的極值與最值：極值判別;最大值與最小值.
5函數的凸性與拐點：凸函數與凹函數;嚴格凸函數與嚴格凹函數;拐點.
6函數作圖：函數作圖的一般程序.
7方程的近似解：牛頓切線法.
第七章 實數完備性
1實數完備性六個等價定理：閉區間套與閉區間套定理;聚點與聚點定理;有限覆蓋與有限覆蓋定理;確界定理;單調有界定理;柯西收斂準則.
2閉區間上連續函數整體性質的證明：有界性定理;最大、最小值定理;介值定理;一致連續性定理.
3上極限與下極限：最小聚點與下極限;最大聚點與上極限.
第八章 不定積分
1不定積分概念與基本積分公式：原函數與不定積分;基本積分表;不定積分的線性運算法則.
2換元積分法與分部積分法：第一換元法與第二換元法;分部積分法.
3有理函數和可化為有理函數的不定積分：有理函數的積分;部分分式;幾類可化為有理函數的積分.
第九章 定積分
1定積分的概念：問題的提出;定積分的定義.
2牛頓—萊布尼茲公式.
3可積條件：可積的必要條件;達布上(下)和;上積分與下積分;可積的充要條件;可積函數類.
4定積分的性質：定積分的基本性質;積分(第一)中值定理.
5微積分學基本定理
定積分計算(續)：變限積分與原函數的存在性;積分(第二)中值定理;定積分的換元積分法和分部積分法.
第十章 定積分的應用：微元法;平面圖形面積計算;已知平行截面面積求體積;平面曲線弧長與曲率;旋轉曲面的面積;定積分在物理中的某些應用(液體靜壓力、引力、功與平均功率等).
第十一章 反常積分
1反常積分概念：無窮限反常積分與收斂的定義;瑕點;無界函數反常積分(瑕積分)與收斂的定義.
2無窮限反常積分的性質與收斂判別：無窮限反常積分的性質;絕對收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.
3瑕積分的性質與收斂判別：瑕積分的性質;絕對收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.
第十二章 數項級數
1級數的斂散性：數項級數斂散性概念;級數收斂的柯西收斂準則與收斂級數的若干性質.
2正項級數：正項級數收斂性的一般判別原則;比式判別法與根式判別法;積分判別法與拉貝判別法.
3一般項級數：交錯級數與萊布尼茲判別法;絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質;阿貝爾判別法與狄利克雷判別法.
第十三章 函數列與函數項級數
1一致收斂性：函數列及其一致收斂性概念與判別法;函數項級數及其一致收斂概念與判別法.
2一致收斂的函數列與函數項級數的性質：連續性;可微(導)性;可積性.
第十四章 冪級數
1冪級數：冪級數的收斂半徑、收斂區間與收斂域;冪級數的性質;冪級數和函數的連續性、逐項可導(微)、逐項可積問題.