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2016學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上期中試卷
如果不想在世界上虛度一生，那就要學(xué)習(xí)一輩子。下面是小編整理的2016學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上期中試卷，歡迎大家試做。
一、選擇題(每題3分，共24 分)
1.化簡 的結(jié)果是( )
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9
2.下列二次根式中與 是同類二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.下列命題中，真命題是( )
A. 兩條對角線垂直的四邊形是菱形
B. 對角線垂直且相等的四邊形是正方形
C. 兩條對角線相等的四邊形是矩形
D. 兩條對角線相等的平行四邊形是矩形
4.估計﹣ +1的值( )
A. 在﹣3到﹣2之間 B. 在﹣4到﹣3之間 C. 在﹣5之﹣4間 D. 在﹣6到﹣5之間
5.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a為常數(shù))的根的情況是( )
A. 有兩個不相等的實數(shù)根 B. 可能有實數(shù)根，也可能沒有
C. 有兩個相等的實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根
6.若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是( )
A. 菱形 B. 對角線互相垂直的四邊形
C. 矩形 D. 對角線相等的四邊形
7.如圖，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2.將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后得到△EDC，此時點D在AB邊上，斜邊DE交AC邊于點F，則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為( )
A. 30，2 B. 60，2 C. 60， D. 60，
8.如圖，已知四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE.若DE：AC=3：5，則 的值為( )
A. B. C. D.
二、填空題(每題2分，共20分)
9.計算： ﹣ = ;( +1)( ﹣1)= .
10.一元二次方程﹣x2=x的解是 .
11.使代數(shù)式 有意義的x的取值范圍是 .
12.若關(guān)于x的方程x2﹣3x+k=0的一個根是0，則k值是 ，另一個根是 .
13.一組數(shù)據(jù)2，﹣1，0，x，1的極差是5，則x的值是 .
14.已知等腰梯形ABCD的中位線EF的長為6，腰長為3，則這個等腰梯形的周長為 .
15.如圖，已知P是 正方形ABCD對角線BD上一點，且BP=BC，則∠ACP度數(shù)是 度.
16.如圖，正方形ABCD的對角線AC是菱形AEFC的一邊，則∠FAB的度數(shù)為 .
17.如圖，依次連結(jié)第一個矩形各邊的中點得到第一個菱形，再依次連結(jié)所得菱形各邊的中點得到第二個矩形，
按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個矩形的面積為2，則第2013個菱形的面積為 .
18.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一點E，EC=2cm，AD上有一點P，PA=6cm，過點P作PF⊥AD交BC于點F，將紙片折疊，使P與E重合，折痕交PF于Q，則線段PQ的長是 cm.
三、解答題(共20分)
19.計算：
(1) ﹣ + ;
(2)(π﹣2013)0+ +( )﹣1.
20.解方程：
(1)x2﹣12x﹣4=0;
(2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).
四、解答題(共36分)
21.如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于點E，CF⊥BC交BD于點F，且AE=CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
22.如圖，在△ABC中，D是邊AC上一點，且BD=BC，點E、F分別是DC、AB的中點.求證：
(1)EF= AB;
(2)過A點作AG∥EF，交BE的延長線于點G，則BE=GE.
23.觀察下列各式及其驗證過程：
=2 ，驗證： = = =2 .
=3 ，驗證： = = =3 .
(1)按照上述兩個等式及其驗證過程，猜想 的變形結(jié)果并進(jìn)行驗證;
(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用a(a為自然數(shù)，且a≥2)表示的等式，并給出驗證;
(3)用a(a為任意自然數(shù)，且a≥2)寫出三次根式的類似規(guī)律，并給出驗證說理過程.
24.如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G.
(1)猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)若AB=3，AD=4，求線段GC的長.
25.平面直角坐標(biāo)系中，有一Rt△ABC，且A(﹣1，3)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的.
(1)請寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是 ，旋轉(zhuǎn)角是 度;
(2)以(1)中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫出△A1AC1順時針旋轉(zhuǎn)90°、180°的三角形.
26.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從點D出發(fā)沿DA向終點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)沿對角線AC向終點C運動.過點P作PE∥DC，交AC于點E，動點P、Q的運動速度是每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當(dāng)點P運動到點A時，P、Q兩點同時停止運動.
(1)用含有t的代數(shù)式表示PE= ;
(2)探究：當(dāng)t為何值時，四邊形PQBE為梯形?
(3)是否存在這樣的點P和點Q，使△PQE為等腰三角形?若存在，請求出所有滿足要求的t的值;若不存在，請說明理由.
參考答案
一、選擇題(每題3分，共24分)
1.化簡 的結(jié)果是( )
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9
考點： 二次根式的性質(zhì)與化簡.
分析： 本題可先將根號內(nèi)的數(shù)化簡，再開方，根據(jù)開方的結(jié)果得出答案.
解答： 解： = =3.
故選：A.
點評： 本題考查了二次根式的化簡，解此類題目要注意式子為(﹣3)2的算術(shù)平方根，結(jié)果為非負(fù)數(shù).
2.下列二次根式中與 是同類二次根式的是( )
A. B. C. D.
考點： 同類二次根式.
分析： 運用化簡根式的方法化簡每個選項即可選出答案.
解答： 解：A、 =2 ，故A選項是;
B、 =3 ，故B選項不是;
C、 =2 故C選項不是;
D、 = ，故D選項不是.
故選：A.
點評： 本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是熟記化簡根式的方法.
3.下列命題中，真命題是( )
A. 兩條對角線垂直的四邊形是菱形
B. 對角線垂直且相等的四邊形是正方形
C. 兩 條對角線相等的四邊形是矩形
D. 兩條對角線相等的平行四邊形是矩形
考點： 菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定.
分析： 本題要求熟練掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)以及之間的相互聯(lián)系.
解答： 解：A、兩條對角線垂直并且相互平分的四邊形是菱形，故選項A錯誤;
B、對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，故選項B錯誤;
C、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項C錯誤;
D、根據(jù)矩形的判定定理，兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，為真命題，故選項D正確;
故選D.
點評： 本題考查的是普通概念，熟練掌握基礎(chǔ)的東西是深入研究的必要準(zhǔn)備.
4.估計﹣ +1的值( )
A. 在﹣3到﹣2之間 B. 在﹣4到﹣3之間 C. 在﹣5之﹣4間 D. 在﹣6到﹣5之間
考點： 估算無理數(shù)的大小.
分析： 先求出 的范圍，再求出﹣ +1的范圍，即可得出選項.
解答： 解：∵3< <4，
∴﹣3>﹣ >﹣4，
∴﹣2>﹣ +1>﹣3，
即﹣ +1在﹣3到﹣2之間，
故選A.
點評： 本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出 的范圍.
5.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a為常數(shù))的根的情況是( )
A. 有兩個不相等的實數(shù)根 B. 可能有實數(shù)根，也可能沒有
C. 有兩個相等的實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根
考點： 根的判別式.
分析： 先計算△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a2+4，由于4a2≥0，則4a2+4 >0，即△>0，然后根據(jù)根的判別式的意義進(jìn)行判斷即可.
解答： 解：△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a2+4，
∵4a2≥0，
∴4a2+4>0，即△>0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根.
故選A.
點評： 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng)△<0，方程沒有實數(shù)根.
6.若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是( )
A. 菱形 B. 對角線互相垂直的四邊形
C. 矩形 D. 對角線相等的四邊形
考點： 三角形中位線定理;菱形的判定.
分析： 根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥FG，EF=FG，EF= BD，要是四邊形為菱形，得出EF=EH，即可得到答案.
解答： 解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，DC，CB，AB的中點，
∴EH= AC，EH∥AC，F(xiàn)G= AC，F(xiàn)G∥AC，EF= BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
假設(shè)AC=BD，
∵EH= AC，EF= BD，
則EF=EH，
∴平行四邊形EFGH是菱形，
即只有具備AC=BD即可推出四邊形是菱形，
故選：D.
點評： 本題主要考查對菱形的判定，三角形的中位線定理，平行四邊形的判定等知識點的理解和掌握，靈活運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.
7.如圖，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，B C=2.將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后得到△EDC，此時點D在AB邊上，斜邊DE交AC邊于點F，則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為( )
A. 30，2 B. 60，2 C. 60， D. 60，
考點： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);含30度角的直角三角形.
專題： 壓軸題.
分析： 先根據(jù)已知條件求出AC的長及∠B的度數(shù)，再根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定定理判斷出△BCD的形狀，進(jìn)而得出∠DCF的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)可判斷出DF是△ABC的中位線，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論.
解答： 解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2× =2 ，AB=2BC=4，
∵△EDC是△ABC旋轉(zhuǎn)而成，
∴BC=CD=BD= AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD= AB=2，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF= BC= ×2=1，CF= AC= ×2 = ，
∴S陰影= DF×CF= × = .
故選C.
點評： 本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理及三角形的面積公式，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵，即：
�、賹�(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;
�、趯�(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;
�、坌D(zhuǎn)前、后的圖形全等.
8.如圖，已知四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE.若DE：AC=3：5，則 的值為( )
A. B. C. D.
考點： 矩形的性質(zhì);翻折變換(折疊問題).
分析： 根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠BAC=∠EAC，再根據(jù)矩形的對 邊平行可得AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DAC=∠BCA，從而得到∠EAC=∠DAC，設(shè)AE與CD相交于F，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AF=CF，再求出DF=EF，從而得到△ACF和△EDF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出 = ，設(shè)DF=3x，F(xiàn)C=5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根據(jù)矩形的對邊相等求出AB，然后代入進(jìn)行計算即可得解.
解答： 解：∵矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，
∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，
∵矩形ABCD的對邊AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
設(shè)AE與CD 相交于F，則AF=CF，
∴AE﹣AF=CD﹣CF，
即DF=EF，
∴ = ，
又∵∠AFC=∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴ = = ，
設(shè)DF=3x，F(xiàn)C=5x，則AF=5x，
在Rt△ADF中，AD= = =4x，
又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，
∴ = = .
故選A.
點評： 本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(每題2分，共20分)
9.計算： ﹣ = ;( +1)( ﹣1)= 1 .
考點： 二次根式的混合運算.
專題： 計算題.
分析： 把 化簡成最簡二次根式，然后把 ﹣ 進(jìn)行合并即可;利用平方差公式計算( +1)( ﹣1).
解答： 解：： ﹣ = ﹣ = ;
( +1)( ﹣1)=( )2﹣1=2﹣1=1.
故答 案為 ，1.
點評： 本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式.
10.一元二次方程﹣x2=x的解是 x1=0，x2=﹣1 .
考點： 解一元二次方程-因式分解法.
分析： 先移項，再分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.
解答： 解：﹣x2=x，
x2+x=0，
x(x+1)=0，
x=0，x+1=0，
x1=0，x2=﹣1，
故答案為：x1=0，x2=﹣1.
點評： 本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生解一元二次方程的能力，題目比較好，難度適中.
11.使代數(shù)式 有意義的x的取值范圍是 x≥﹣2 .
考點： 二次根式有意義的條件.
分析： 根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解.
解答： 解：由題意得，2+x≥0，
解得x≥﹣2.
故答案為：x≥﹣2.
點評： 本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).
12.若關(guān)于x的方程x2﹣3x+k=0的一個根是0，則k值是 0 ，另一個根是 3 .
考點： 一元二次方程的解.
專題： 計算題.
分析： 先根據(jù)一元二次方程的解，把x=0代入原方程得到k的一次方程，解一次方程得到k的值，然后把k的值代入原方程，再利用因式分解法解方程得到方程另一個根.
解答： 解：把x=0代入x2﹣3x+k=0得k=0，
所以原方程變形為x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3，
所以方程另一個根是3.
故答案為0，3.
點評： 本題考查了一元二次方程的解 ：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.
13.一組數(shù)據(jù)2，﹣1，0，x，1的極差是5，則x的值是 ﹣3或4 .
考點： 極差.
分析： 根據(jù)極差的公式：極差=最大值﹣最小值.x可能是最大值，也可能是最小值，分兩種情況討論.
解答： 解：當(dāng)x是最大值時，則x﹣(﹣1)=5，
所以x=4;
當(dāng)x是最小值 時，則2﹣x=5，
所以x=﹣3.
故答案為﹣3或4.
點評： 本題考查了極差的定義，極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值.同時注意分類的思想的運用.
14.已知等腰梯形ABCD的中位線EF的長為6，腰長為3，則這個等腰梯形的周長為 18 .
考點： 梯形中位線定理;等腰梯形的性質(zhì).
分析： 此題只需根據(jù)梯形的中位線定理求得梯形的兩底和，即可進(jìn)一步求得梯形的周長.
解答： 解：∵等腰梯形ABCD的中位線EF的長為6，
∴AB+CD=2×6=12.
又∵腰AD的長為3，
∴這個等腰梯形的周長為AB+CD+AD+BC=12+3+3=18.
故答案為：18.
點評： 本題考查的是梯形的中位線定理及等腰梯形的性質(zhì)，熟知梯形中位線定理是解答此題的關(guān)鍵.
15.如圖，已知P是正方形ABCD對角線BD上一點，且BP=BC，則∠ACP度數(shù)是 22.5 度.
考點： 正方形的性質(zhì).
專題： 計算題.
分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，從而可求得∠BCP的度數(shù)，從而就可求得∠ACP的度數(shù).
解答： 解：∵ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BCA=45°，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC= (180°﹣45°)=67.5°，
∴∠ACP度數(shù)是67.5°﹣45°=22.5°.
點評： 此題主要考查了正方形的對角線平分對角的性質(zhì)，平分每一組對角.
16.如圖，正方形ABCD的對角線AC是菱形AEFC的一邊，則∠FAB的度數(shù)為 22.5° .
考點： 正方形的性質(zhì);菱形的性質(zhì).
分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠BAC=45°，再根據(jù)菱形的對角線平分一組對角解答即可.
解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵四邊形AEFC是菱形，
∴∠FAB= ∠BAC= ×45°=22.5°.
故答案為：22.5°.
點評： 本題考查了正方形的對角線平分一組對角，菱形的對角線平分一組對角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
17.如圖，依次連結(jié)第一個矩形各邊的中點得到第一個菱形，再依次連結(jié)所得菱形各邊的中點得到第二個矩形，
按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個矩形的面積為2，則第2013個菱形的面積為 .
考點： 菱形的性質(zhì);規(guī)律型：圖形的變化類;中點四邊形.
分析： 首先根據(jù)題意求得第一個菱形的面積、第二個矩形與菱形面積、第三個矩形與菱形面積，繼而得到規(guī)律：第n個菱形的面積為：( )2n﹣2，則可求得答案.
解答： 解：∵第一個矩形的面積為2，
∴第一個菱形的面積為1;
∴第二個矩形的面積為： ，
第二個菱形的面積為：( )2，
第三個矩形的面積為：( )3，
第三個菱形的面積為( )4，
依此類推，第n個菱形的面積為：( )2n﹣2，
∴第2013個菱形的面積為：( )2×2013﹣2=( )4024= .
點評： 此題考查了菱形與矩形的性質(zhì).此題難度適中，注意得到規(guī)律：第n個菱形的面積為：( )2n﹣2是解此題的關(guān)鍵.
18.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一點E，EC=2cm，AD上有一點P，PA=6cm，過點P作PF⊥AD交BC于點F，將紙片折疊，使P與E重合，折痕交PF于Q，則線段PQ的長是 cm.
考點： 翻折變換(折疊問題).
專題： 壓軸題;探究型.
分析： 連接EQ，由翻折變換的性質(zhì)可知△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分線，再由已知條件得出PD及DE的長，由勾股定理得出PE的長，設(shè)PQ=x，則QF=5﹣x，用x表示出OQ的長，根據(jù)S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE即可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論.
解答： 解：連接EQ，
∵將紙片折疊，使P與E重合，
∴△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分線，
∵矩形紙片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，PA=6cm，CE=2cm，
∴PD=4cm，DE=3cm，
∵在Rt△DPE中PE= = =5.
∴OP= PE= ，
設(shè)PQ=x，則QF=5﹣x，
∴OQ= =
∵S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE，即： PE•OQ+ ( QF+CE)×CF= (PF+CE)×CF，
即 ×5× + ×(5﹣x+2)×4= ×(5+2)×4，
解得x= cm.
故答案為： .
點評： 本題考查的是翻折變換，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵.
三、解答題(共20分)
19.計算：
(1) ﹣ + ;
(2)(π﹣2013)0+ +( )﹣1.
考點： 二次根式的混合運算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
專題： 計算題.
分析： (1)先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可;
(2)根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義得到原式=1+3 + ，然后合并即可.
解答： 解：(1)原式=2 ﹣ +2
= +2 ;
(2)原式=1+3 +
=1+ .
點評： 本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式.也考查了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
20.解方程：
(1)x2﹣12x﹣4=0;
(2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).
考點： 解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
分析： (1)先移項，再配方，開方后即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.
解答： 解：(1)x2﹣12x﹣4=0;
x2﹣12x=4，
配方得：x2﹣12x+62=4+62，
(x﹣6)2=40，
開方得：x﹣6=± ，
x1=6+2 ，x2=6﹣2 ;
(2)移項得：3(x﹣2)2﹣x(x﹣2)=0，
(x﹣2)[3(x﹣2)﹣x]=0，
x﹣2=0，3(x﹣2)﹣x=0，
x1=2，x2=3.
點評： 本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生解一元二次方程的能力，題目比較好，難度適中.
四、解答題(共36分)
21.如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于點E，CF⊥BC交BD于點F，且AE=CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
考點： 平行四邊形的判定;全等三角形的判定與性質(zhì).
專題： 證明題.
分析： 由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根據(jù)AAS可證明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可.
解答： 證明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
∵ ，
∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS)，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
點評： 本題考查了平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出AD=BC，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.
22.如圖，在△ABC中，D是邊AC上一點，且BD=BC，點E、F分別是DC、AB的中點.求證：
(1)EF= AB;
(2)過A點作AG∥EF，交BE的延長線于點G，則BE=GE.
考點： 三角形中位線定理;等腰三角形的判定與性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線.
專題： 證明題.
分析： (1)連接BE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE⊥AC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF= AB;
(2)求出AF=EF，再根據(jù)等邊對等角可得∠AEF=∠EAF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AEF=∠EAG，從而得到∠EAF=∠EAG，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE=GE.
解答： (1)證明：如圖，連接BE，
∵BD=BC，點E是CD的中點，
∴BE⊥AC，
∵點F是AB的中點，
∴EF= AB;
(2)解：∵AF=EF= AB，
∴∠AEF=∠EAF，
∵AG∥EF，
∴∠AEF=∠EAG，
∴∠EAF=∠EAG，
又∵BE⊥AC，
∴BE=GE(等腰三角形三線合一).
點評： 本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
23.觀察下列各式及其驗證過程：
=2 ，驗證： = = =2 .
=3 ，驗證： = = =3 .
(1)按照上述兩個等式及其驗證過程，猜想 的變形結(jié)果并進(jìn)行驗證;
(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用a(a為自然數(shù)，且a≥2)表示的等式，并給出驗證;
(3)用a(a為任意自然數(shù)，且a≥2)寫出三次根式的類似規(guī)律，并給出驗證說理過程.
考點： 二次根式的性質(zhì)與化簡.
專題： 規(guī)律型.
分析： (1)利用已知，觀察 =2 ， =3 ，可得 的值;
(2)由(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)可以總結(jié)出一般規(guī)律;
(3)利用已知可得出三次根式的類似規(guī)律，進(jìn)而驗證即可.
解答： 解：(1)∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
驗證： = = ，正確;
(2)由(1)中的規(guī)律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ =a ，
驗證： = =a ;正確;
(3) =a (a為任意自然數(shù)，且a≥2)，
驗證： = = =a .
點評： 此題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，善于發(fā)現(xiàn)題目數(shù)字之間的規(guī)律，是解題的關(guān)鍵.
24.如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G.
(1)猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)若AB=3，AD=4，求線段GC的長.
考點： 矩形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;翻折變換(折疊問題).
分析： (1)連接GE，根據(jù)點E是BC的中點以及翻折的性質(zhì)可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”證明△GFE和△GCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證;
(2)設(shè)GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式進(jìn)行計算即可得解.
解答： 解：(1)GF=GC.
理由如下：連接GE，
∵E是BC的中點，
∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C=90°，
∴∠EFG=90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL)，
∴GF=GC;
(2)設(shè)GC=x，則AG=3+x，DG=3﹣x，
在Rt△ADG中，42+(3﹣x)2=(3+x)2，
解得x= .
點評： 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，熟記性質(zhì)，找出三角形全等的條件EF=EC是解題的關(guān)鍵.
25.平面直角坐標(biāo)系中，有一Rt△ABC，且A(﹣1，3)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的.
(1)請寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是 (0，0) ，旋轉(zhuǎn)角是 90 度;
(2)以(1)中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫出△A1AC1順時針旋轉(zhuǎn)90°、180°的三角形.
考點： 作圖-旋轉(zhuǎn)變換.
專題： 作圖題.
分析： (1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出對應(yīng)點連線的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角即為旋轉(zhuǎn)角;
(2)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別找出找出△A1AC1順時針旋轉(zhuǎn)90°、180°后的對應(yīng)點的位置，然后順次連接即可.
解答： 解：(1)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是(0，0)，旋轉(zhuǎn)角是90度;
(2)如圖所示，△A1A2C2是△A1AC1以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°的三角形，
△A2C3B是△A1AC1以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)180°的三角形.
點評： 本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角的確定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵.
26.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從點D出發(fā)沿DA向終點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)沿對角線AC向終點C運動.過點P作PE∥DC，交AC于點E，動點P、Q的運動速度是每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當(dāng)點P運動到點A時，P、Q兩點同時停止運動.
(1)用含有t的代數(shù)式表示PE= ﹣ t+3 ;
(2)探究：當(dāng)t為何值時，四邊形PQBE為梯形?
(3)是否存在這樣的點P和點Q，使△PQE為等腰三角形?若存在，請求出所有滿足要求的t的值;若不存在，請說明理由.
考點： 四邊形綜合題.
分析： (1)由四邊形ABCD為矩形，得到∠D為直角，對邊相等，可得三角形ADC為直角三角形，由AD與DC的長，利用勾股定理求出AC的長，再由PE平行于CD，利用兩直線平行得到兩對同位角相等，可得出三角形APE與三角形ADC相似，由相似得比例，將各自的值代入，整理后得到y(tǒng)與x的關(guān)系式;
(2)若QB與PE平行，得到四邊形PQBE為矩形，不合題意，故QB與PE不平行，當(dāng)PQ與BE平行時，利用兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等，可得出一對鄰補(bǔ)角相等，再由AD與BC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，可得出三角形APQ與三角形BEC相似，由相似得比例列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到四邊形PQBE為梯形時x的值;
(3)存在這樣的點P和點Q，使P、Q、E為頂點的三角形是等腰三角形，分兩種情況考慮：當(dāng)Q在AE上時，由AE﹣AQ表示出QE，再根據(jù)PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三種情況，分別列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到滿足題意x的值;當(dāng)Q在EC上時，由AQ﹣AE表示出QE，此時三角形為鈍角三角形，只能PE=QE列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到滿足題意x的值，綜上，得到所有滿足題意的x的值.
解答： 解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，
∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC= =5，
∵PE∥CD，
∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，
∴△APE∽△ADC，
又∵PD=t，AD=4，AP=AD﹣PD=4﹣t，AC=5，DC=3，
∴ = = ，即 = = ，
∴PE=﹣ t+3.
故答案為：﹣ t+3;
(2)若QB∥PE，四邊形PQBE是矩形，非梯形，
故QB與PE不平行，
當(dāng)QP∥BE時，
∵∠PQE=∠BEQ，
∴∠AQP=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠BCE，
∴△PAQ∽△BCE，
由(1)得：AE=﹣ t+5，PA=4﹣t，BC=4，AQ=t，
∴ = = ，即 = = ，
整理得：5(4﹣t)=16，
解得：t= ，
∴當(dāng)t= 時，QP∥BE，而QB與PE不平行，此時四邊形PQBE是梯形;
(3)存在.
分兩種情況：
當(dāng)Q在線段AE上時：QE=AE﹣AQ=﹣ t+5﹣t=5﹣ t，
(i)當(dāng)QE=PE時，5﹣ t=﹣ t+3，
解得：x= ;
(ii)當(dāng)QP=QE時，∠QPE=∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴AQ=QP=QE，
∴t=5﹣ t，
解得，t= ;
(iii)當(dāng)QP=PE時，過P作PF⊥QE于F(如圖1)，
可得：FE= QE= (5﹣ t)= ，
∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，
∴cos∠AEP=cos∠ACD= = ，
∵cos∠AEP= = = ，
解得t= ;
當(dāng)點Q在線段EC上時，△PQE只能是鈍角三角形，如圖2所示：
∴PE=EQ=AQ﹣AE，AQ=t，AE=﹣ t+5，PE=﹣ t+3，
∴﹣ t+3=t﹣(﹣ t+5)，
解得nt= .
綜上，當(dāng)t= 或t= 或t= 或t= 時，△PQE為等腰三角形.
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