認知數學元差異的相關研究及啟示
摘要：本文通過回顧關于數學元認知的相關研究，對數學元認知的理論和學生數學元認知差異的主要表現進行了分析與梳理。相關研究發現，學生的數學元認知水平在數學學優生與學困生、性別、年齡等方面，差異較為明顯。文章最后指出了相關研究對數學教學的啟示。
關鍵詞：元認知能力 數學元認知 數學元認知差異
數學元認知是以數學觀念為指導，在數學思維過程中表現出來的，對數學認知活動的認識和監控。學生的數學元認知水平對數學學習有很大影響，數學元認知的差異是形成數學思維品質差異的根本原因，因此，了解學生數學學習的元認知水平的差異，對于有效地開展數學教學，有針對性地指導學生的數學學習有著十分重要的意義。本文通過回顧關于數學元認知的相關研究，對數學元認知的理論和學生數學元認知差異的主要表現進行了分析與梳理，并對數學教學提出了一些建議。
l 數學元認知的相關研究
自20世紀70年代初美國心理學家弗萊維爾(Flavell)首次正式提出元認知的科學概念以來，各國的研究者圍繞元認知開展了大量的研究，使其逐漸成為當代心理學，尤其是教育心理學的熱點課題。在眾多元認知概念的界定中，以弗萊維爾的定義最具代表性，他認為元認知是個人對自己認知系統的內省知識(Flavell，1971)，即認知的認知。數學元認知就是對數學認知活動的認識和監控，是在數學思維過程中表現出來的，以一定的數學觀念為指導，對自己的思維過程的意識進行調節與控制。
1．1 元認知結構
關于元認知的結構，國外學者弗萊維爾認為元認知包括元認知知識(meta—cognitive knowledge)和元認知體驗(meta—cognitive experience)兩個方面?。帕里斯(Paris)認為元認知包括兩類心理活動：一是認知的自我評估知識；二是思考的自我管理幢J。國內學者董奇認為元認知的成分為3個方面的要素：元認知知識、元認知體驗和元認知監控b1。汪玲、郭德俊等人則認為元認知包括元認知技能、元認知知識和元認知體驗3個方面H】。目前較為普遍接受的是董奇先生提出的“三要素”觀點。其中元認知知識就是個體關于自己或他人的認識活動的過程、結果、任務目標和方法以及影響認知活動的各種因素等有關的信息和知識。元認知體驗是指伴隨著認知活動的進行而產生的認知體驗或情感體驗，它是推動認知活動順利進行的內在動力，可以是“知”的體驗，也可以是對“不知”的體驗。元認知監控就是主體在認知活動的全過程中，將自己正在進行的認知活動作為意識對象，不斷地對其進行積極自覺的監視、控制和調節，以達到預定的目標b1。
1．2 數學元認知結構
在數學學習過程中，數學元認知知識表現為以下幾個方面：(1)對個體數學學習能力、興趣、習慣的認識；(2)對數學本質、學習目標和任務難易程度、材料的不同呈現式等的認識；
(3)對數學學習的方法、策略及其使用的條件與范圍等的認識¨1。數學元認知體驗包括了知和情兩方面的體驗，即一方面有認知活動進行時對知識獲取的覺知，另一方面也有對認知過程中經歷的情緒、情感的覺察。如，通過數學作業或形成性測驗，“我”能夠發現自己數學學習的進步或退步；又如，對立體幾何中的題目，“我”喜歡用幾何方法來解決還是喜歡用向量方法來解決等。
數學元認知監控是對數學認知過程的調節和控制。數學元認知監控貫穿于數學認知活動的全過程，即從認知目標和任務的監控開始，到制定計劃的監控(包括策略選擇與應用、構思問題解決的可能方法、估算其有效性、資源分配等)和實施計劃的監控(包括根據反饋信息及時作出評價，并修正或調整策略和方法等)直至檢查結果的監控(包括評價和估計策略和方法的效果，達到目標和完成任務的程度。如發現問題，則采取相應的補救措施)，總之要達到了目標和完成了任務，數學元認知監控才停止。一般來說，數學元認知監控是在數學元認知知識、元認知體驗相互作用的基礎上實現的，豐富的元認知知識和元認知體驗有助于主體對認知活動進行有效的監控，同時元認知監控能力又制約著主體元認知知識的獲得和水平。因此，在實際認知活動中，三者相互作用，相互制約構成一個統一的整體，其中數學元認知監控處于核心地位。
1．3 數學元認知的功能
在人們從事的各種認知活動中，元認知都發揮著十分重要的監控、調節的功能。已有研究b1證實，元認知監控在很多學科中會起到非常重要的作用，如寫作(Gaham，1997)、閱讀(Ryan，1984)、應用題(張慶林、管鵬，1997)等。這些研究已初步證明，元認知在兒童的學習記憶、理解、問題解決等方面的活動中起著重要的作用，元認知的訓練可以提高兒童的思維、智力水平。從數學學科的特點來看，數學是一門高度抽象的科學，是關于量化模式的建構和研究，是建立在對具體事物和現象的反省抽象基礎之上的科學，這也就決定了數學思維更多的是反省思維，而反省思維是離不開元認知的；其次，從數學問題解決的過程看，“調控”是決定問題能否順利解決的一個重要因素，通過解題過程的監視、評價、調節和修正，使問題得到圓滿的解決，這此活動無疑都包含了元認知成分。因此數學學習活動要求學生具備一定的元認知能力；反之，數學學科的特點也使數學教學過程是培養學生元認知能力的最好載體bJ。
2 數學元認知差異的表現
元認知與思維品質存在因果關系，元認知的改變必然引起思維品質的改變㈨。數學思維品質是數學思維能力的表現形式，是衡量思維能力高低的重要指標。因此，了解學生數學學習的元認知水平的差異，對于有效地開展數學教學，有針對性地指導學生的數學學習有著十分重要的意義。學生數學元認知水平差異主要體現在以下幾個方面。
2．1 數學學優生與學困生的元認知表現
對于數學學優生(Mathematically GiftedStudents)，中文有很多稱謂，如數學特長生、數學天才生或數學資優生。一般是指那些對數學有興趣，能主動地進行數學學習，且對規定的數學學習內容，成績穩定在相對較高水平的學生(以下簡稱“學優生”)。在數學學習中，還有一些學生，他們數學成績差、知識欠缺多、能力薄弱、持續感到困難，處在無趣與困惑之中，這部分人就是數學學困生，也稱為數學慢生、差生、后進生(以下簡稱“學困生”)，國際上使用“Slow Leaner”即“慢生”的稱謂一1。成績差異是相對的，所謂學困生是指在同齡人中數學成績明顯落后且學習困難的學生¨]。學優生與學困生在數學學習的很多方面表現出差異，在元認知水平上也是同樣。研究者對這個問題研究的結論主要有：
2．1．1 數學學困生元認知知識和體驗水平較低，但未形成顯著性差異潘冬花認為，數學學困生的元認知特點有：元認知知識相對貧乏，他們在有關知識水平方面同許多數優生基本相同，但是，在學習策略方面的知識卻比較貧乏；元認知體驗相對消極，元認知體驗是元認知的前提，學困生學習數學時成功體驗少，失敗體驗多¨1。
2．1．2 數學學困生元認知監控水平顯著低于數學學優生研究表明舊J，數學學困生的元認知監控不夠自覺。實際上，很多研究?【2】【9】【103(張存山，2007；Flavell，1995；牛衛華，張梅玲，1998；李偉健，李盈鋒，2005)都指出，數學學困生與學優生在元認知監控方面存在顯著差異，而在其他方面的差異并不顯著。
這些結論與Pazzaglia和Comoldi的研究一致，即元認知水平越高，其學業成績越好陋]。對此，郭玉峰和潘冬花認為，數學學困生的元認知水平不高主要體現在元認知監控水平上，有以下幾點：(1)不能很好地預期或計劃自己的學習；(2)不能自覺地使用有效的學習方法；(3)缺乏對學習的有效監控；(4)缺乏對學習的某個階段及學習完成之后的評價、反思習慣舊?。可以看出，學困生在數學學習之前、之中和之后對學習任務都不能有效控制，這是因為元認知監控是元認知的核心，監控能力的匱乏導致中等以上難度的數學問題成為學困生不可逾越的障礙。
2．1．3 元認知技能在提高程度上的差異
數學學優生及學困生除了在認知水平上存在差異，在元認知技能的發展上，二者也呈現不同的增長趨勢。張存山通過對高一學生中的學優生及學困生進行連續八周的數學元認知技能預測、計劃、監控、評價測試及分析，發現隨時間推移，學優生與學困生的數學元認知技能都在提高，預測、計劃和評價技能有發展趨勢，學優生的監控技能一周內迅速發展，在后續時間內仍有較大提升。學優生在容易問題與困難問題上的計劃技能成績差異與監控技能成績差異都越來越小，學困生在容易問題與困難問題上的計劃技能成績差異沒有明顯改變，監控技能成績差異也比較穩定¨¨。這一點與Isaaeon，Fujita(2006)和胡志海(1999)等人的研究結果一致，即學優生能表現出更好的調節能力。學生的數學水平和元認知水平是相互影響的。已有調查驗證了學生數學問題解決中元認知能力的發展水平與其數學學習成績呈正相關關系。數學學習成績是影響初中生數學問題解決中元認知能力的重要因素u劉。數學學困生的元認知水平未能跟上學習要求的變化，使得對學習活動缺乏有效的計劃、控制與調節，元認知的欠缺影響了整個學習過程的結果，這些可能是造成學業不良的重要認知原因。因此，學困生的元認知水平的各個方面均低于學優生，而且從長期看，其發展速度也要慢于學優生。
2．2 元認知差異的性別表現
總體上講，男女生在元認知各維度上差異不是很顯著。但是，具體到每個年級男女生在個別地方表現出一定的差異¨¨。在初中階段，男生的認知平均分高于女生。同時，男生的自我意識、認知策略、讖Ⅱ、自我檢查對錯的得分都高于女生。實際結果來看，在大部分估計任務中，男生的成績都好于女生，只是未達到顯著性水平。只有在估算中，男生的成績顯著高于女生。出現這種情況的原因主要是估算實際上與數學能力高度相關，所以表現出與數學能力性別差異一致的現象【l引。高中生的元認知水平也沒有顯著的性別差異。在思維的敏捷性、深刻性和獨創性上男生優于女生，而在思維的批判性上女生優于男生。女生更善于對自己的數學解題過程進行回顧和反思，她們的元認知監控比男生發揮得更主動一些¨¨。這些差異的出現與男女生的認知方式的差異有關。另外，大量的研究表明【l卜¨】，男生有更肯定的數學能力信念、更大的對數學成功的預期、數學成敗歸因上傾向于能力歸因、更低的數學焦慮以及更看重數學的價值，這可能也是元認知性別差異的原因之一。
2．3 元認知差異的年齡表現
目前對不同年齡學生的元認知差異的研究還不充分，但是從對初中生和高中生的元認知水平的研究結果來看，隨著年齡的增長，學生數學元認知水平也呈現上升的趨勢。
在研究數學問題解決時，王春燕發現，在元認知能力的知識性維度上，初中生的數學元認知相對比較缺乏，特別是數學問題解決中解題策略方面，數學問題解決中元認知能力的調控性、監測性和評價性維度總體偏低¨¨。相對而言，高中生在元認知知識方面，有一定的自主學習能力舊】。但是他們在其他方面依然表現出不足之處，如在元認知體驗方面，對學習過程和學習內容的體驗較成熟，對學習結果的體驗較弱；在元認知監控方面缺乏反饋和補救意識，學習缺乏堅持性、深刻性舊1。楊國章通過調查150個高中生(包括高一、高二和高三學生各50人，其中男生女生各占一半)，從三個年級學生的平均得分來看，高一、高二和高三三個年級呈增高趨勢。尤其高三比高一、高二進步明顯，說明高三學生經過高中前兩年的積累，尤其是高考前的強化解題訓練，元認知水平提高較快¨引。這些研究表明，學生的元認知能力是隨年級的升高而逐步提高的。何春華指出，學生數學元認知水平受年齡的影響主要有以下特點：(1)隨年齡的增長而增長；(2)從外部控制到內部控制；從無意識到有意識再到自動化；從局部到整體的變化¨“。數學元認知是個體在學習中隨經驗的增長而逐漸發展起來的。在數學元認知還未充分發展之前，學生的學習活動通常是在教師、家長等他人的直接指導、要求和監督下進行的。低年級學生的學習更多的受到外在因素的影響，如教師、家長的監督和督促，而且學習活動比較簡單，學習自我監控的作用有限。離開了成人的指導和安排，往往就束手無策。而高年級學生的學習活動復雜，常常需要學生對其學習活動進行較多的自主投入與自我監控才能順利完成。隨著關于學習規律、學習材料的熟悉與掌握，對自身特點及有關策略知識的不斷豐富，自我調控的經驗增多，對學習的自我調控逐步從無到有，由低級到高級發展起來。
3 相關研究對數學教學的啟示
關于數學教學中元認知差異的研究已具有了一定的廣度和深度。這些研究表明，學生在元認知方面存在著多方面的差異，并且這些差異成為影響學生數學學習的重要因素，教師要意識到這種差異的存在，并幫助學生提高元認知水平。第一，教師需要采取有針對性的指導方式，以適應不同元認知水平的學生。學生差異是現代課堂教學的客觀存在，教師應科學測查學生不同的學習需要，切實了解學生元認知水平的差異，尋求積極有效的差異教學策略，以促進不同認知水平學生的發展。如，對于數學學困生，教師要幫助他們分解學習內容的難點，降低解題技巧，采用實踐性、活動性和開放式教學。在數學教學過程中注重知識的發生過程，還原數學概念的本質，注意指導學生掌握必要的元認知技能，學會學習的方法。指導學生，特別是學困生掌握必要的問題解決方法策略知識，提高其元認知監控的能力，這樣可在一定程度上彌補他們學習能力的不足。此外，教師還應注意引導學生充分認識自己的認知特點，如自己是善于抽象思維還是形象思維，自己在什么時候記憶效果好等。發揮學生差異資源的教學價值，以多種方式方法的綜合，適應學生不同的元認知水平，實現優質高效能的數學教學。第二，教師還要培養學生運用學習策略的意識和能力。從元認知、認知和資源管理策略三個維度對學生數學學習策略的測查，學習者在擇用策略時存在年級差異、性別差異和水平差異。其中年級在元認知策略上的主效應極其顯著(P<0．01)，在認知策略、資源管理策略和總的學習策略上差異顯著(P<0．05)。不同成績水平學生的數學學習策略選擇與應用差異，其中元認知、認知、資源管理和總的數學學習策略，優生異常顯著地高于中等生和差生，中等生又異常顯著地高于差生(P<0．001)¨0。。因此，在數學教學中，不同章節、不同學習要求需采用不同的學習策略，不僅要教給學生相應的學習策略，還應引導學生有意識地選擇并運用恰當有效的學習策略。第三，教師要培養學生在學習過程中進行自我監控與調節的意識。最初，兒童毫無監控學習活動的經歷與體驗，往往是由于無意識的或不自覺的自我監控，獲得了成效而強化了再次的體驗與監控，從而逐步從無意識轉化為有意識。隨著有意識的經常運用，這種自我觀察、自我判斷、自我控制等技巧的使用逐漸變得嫻熟起來，最后達到幾乎不需再作有意識的選擇和努力或僅需少量注意就能自然而然地操作，達到自動化的程度。因此，教師要注意培養學生在學習過程中隨時監控自己是否偏離目標，當學習出現困難時及時、準確地分析其原因，并能適時地調整計劃或策略。教師要培養學生對學習過程及其效果進行自我評價、反思的意識。
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