鐵絲圍矩形問題的教學探索
摘要：在教學活動中實施有效教學，使學生的基礎(chǔ)性學力、發(fā)展性學力和創(chuàng)造性學力都得到很好的發(fā)展。
蘇科版教材九年級數(shù)學上冊第四章第三節(jié)中用一元二次方程解決鐵絲圍矩形的“動態(tài)”問題，設(shè)置了有一定挑戰(zhàn)性和思考性的現(xiàn)實問題情境。學生通過自主探索研究，可以提高分析問題、解決問題的能力，從而獲得更多的解決問題的方法和經(jīng)驗，更好的體會數(shù)學的價值。教師只需加以適當?shù)囊龑Ь涂梢粤恕Ｏ旅婕右院喴治觯侯}目：現(xiàn)有總長度為22m的柵欄，能否圍成面積是30m的矩形花圃?能否圍成面積是32m的矩形花圃?并說明理由。
學生獨立思考，舉手并嘗試分析：如果設(shè)這段柵欄圍成的矩形花圃的一邊長是xm，那么矩形花圃的另邊長是(22-2X)/2m。學生據(jù)此可以列出方程求解。
教師請兩名同學到黑板板演，其余同學在下面做。解題過程如下：
解：設(shè)這段柵欄圍成的矩形花圃的一邊長是xm，那么矩形花圃的另一邊長是(11-x)m。
(1)如果矩形花圃的面積是30m ，那么x(11-x)= 30，解這個方程，得x1=5，x2=6，從而算出長22m的柵欄能圍成面積是30m2的矩形花圃。
(2)如果矩形花圃的面積是32m2，那么X(11-x)=32，整理，得x2-11x+32=0因為b2-4ae=(-11)2-4 x 1X32=121—128=-7<0，所以此方程沒有實數(shù)解。因此長22m的柵欄不能圍成面積是32m2的矩形花圃。
學生的解答過程較好。教師激疑：難道說，一段長22m的柵欄可圍成的矩形花圃的.面積是有范圍的嗎?學生認可。
教師：那么面積有怎樣的范圍?學生陷入深深地思考，并急于想獲知結(jié)果。同學們將思考聚焦在X(11-x)上，然后終于有學生有所發(fā)現(xiàn)，闡述觀點：設(shè)這段柵欄圍成的矩形花圃的一邊長是xm，那么矩形花圃的另一邊長是(1l-x)m，X(11-x)=一X2+11x=-(x-5.5)2+30.25,不論x取任何實數(shù)，X(11-x)的值總不大于30.25。同學們這才恍然大悟，原因、病根、癥結(jié)找到了，對問題的理解就更透徹了。
教師給予肯定。教師追問：哪位同學還會有其他發(fā)現(xiàn)?學生：當一邊長為5.5m時，矩形的面積為最大，是30.25mz，此時四邊形的形狀為正方形。教師對同學們的細心發(fā)現(xiàn)表示贊賞。教師激疑：如果要用給定長度的柵欄圍成一個最大面積的四邊形區(qū)域，那么應(yīng)當把這一區(qū)域的形狀選成什么四邊形?學生：正方形。教師繼續(xù)追問：如果要用給定長度的柵欄圍成一個最大面積的區(qū)域，那么應(yīng)當把這一區(qū)域的形狀選成什么圖形?憑借以前的知識積累，學生回答是圓。教師：你們?nèi)绻苡脤嶒炚f明，就更好了。學生討論交流，嘗試舉例。如：可以在一塊四周均勻拉緊了的自行車內(nèi)胎薄膜上，用針劃一個細小的小口，它必然會變成近似圓形的小孔�；蚰靡桓彳浀钠とΓ椒旁谝粔K玻璃板上(皮圈與玻璃板之間無空隙)，向皮圈中間緩慢倒水，皮圈會變成圓形，而由于水的特性會保證水占有盡可能大的面積，所以問題得證。
學生的思維一旦發(fā)散，就像打開泄洪的閘門一樣，一發(fā)不可收拾。學生試圖利用液體的表面張力去探尋。教師組織學生小組合作，實際動手操作演示：先用細線打一個小圈(線要較軟，不要太長)，放在一個沾有肥皂水并形成薄膜的鐵絲圈上。再用針將線圈內(nèi)的薄膜刺破，這時由于線圈外的薄膜要收縮到最小面積，而將線圈拉成圓形，即空出來的面積最大。
學生小組合作，興致盎然，課堂氣氛熱烈。在教學中，如何通過設(shè)問引導學生積極思考是很多教師的疑難問題。對于這道題筆者從x(11一x)=30的有解，到X(11-x)=32的無解，激發(fā)學生重新審視x(11-x)，得出了x(11-x)有著自身特有屬性，進而探究給定長度的柵欄圍成一個最大面積的四邊形區(qū)域是什么形狀?又從學生已有的知識經(jīng)驗水平與最近發(fā)展區(qū)之間的問題人手，讓學生舉例，并通過實驗演示，驗證圍成一個最大面積的區(qū)域是圓形的結(jié)論，通過連續(xù)提問，誘導學生去發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、創(chuàng)造性地解決問題。學生對給定長度的線段圍成的最大面積的區(qū)域是圓的生活體驗，教師事先也無法了如指掌，學生的想法與思維既有“歸隊”的時候，也有“出軌”的時候，但也只有這樣切合學生的實際，才會真正體現(xiàn)數(shù)學的“返璞歸真”。作為教學設(shè)計的實施環(huán)節(jié)，課堂教學實踐永遠是教師發(fā)揮創(chuàng)造性的最大舞臺。只要教師在課堂教學中注重培養(yǎng)學生的自覺反思習慣，善于抓住培養(yǎng)學生反思意識的切人點，定能使學生學會用數(shù)學的眼光看問題，學會用數(shù)學的頭腦去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題等，學生將會終生受益，這也正切合數(shù)學教學所要達到的最終目的。
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