探索，猜想，論證

探索，猜想，論證

小學生學習數學的過程，是一種復雜的、有規律的、在教師引導下的認識過程。在教學中，可以結合具體教學內容，根據認知發生原理，按照“實驗探索——猜想論證——應用推廣”這一人類掌握數學的思維活動序列設計教學程序�，F以“方圓率”一節練習課為例，談小學數學教學設計。

一、實驗探索

愛因斯坦說過，提出一個問題，往往比解決一個問題更為重要。在教學中，教師首先應該注意創設情境，讓學生帶著疑問積極思維，去“實驗”、去“探索”、去“發現”……。例如在講授“方圓率”時，教師可設計以下步驟引導學生進行探索發現。

1.設疑引思

（1）右圖正方形的面積是25平方厘米，求圖中陰影部分的面積。附圖{圖}

學生根據5×5＝25，可得知正方形邊長是5厘米，同時還知圓的直徑也是5厘米，于是圓的面積、陰影部分的面積均可求出。

（2）如果右上圖正方形的面積是10平方厘米，求陰影部分的面積。

此題用上面的方法無法求出正方形的邊長（圓的直徑），也就是說在小學生現有的知識庫中，無法找到現成的解答方法。怎么辦呢？這時教師可引導學生另辟蹊徑。

2.實驗探索

組織學生按下面步驟進行實驗探究。

（1）計算全班分成四個小組，分別依次計算出邊長是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的正方形面積和直徑是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的圓的面積，以及圓面積與正方形面積的百分比。

（2）匯報請各組選出代表匯報計算結果，并填好下表。

直徑12345圓形面積0.7853.147.06512.5619.625邊長12345正方形面積1491625圓面積占正方形面積的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%78.5%直徑6789……圓形面積28.2638.46550.2463.585……邊長6789……正方形面積36496481……圓面積占正方形面積的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%……

（3）觀察觀察比較上表，學生初步發現：如果圓的直徑和正方形的邊長相等，那么當π取3.14時，圓面積占正方形面積的百分比均為78.5％。

二、猜想論證

數學方法理論的倡導者G.波利亞曾說過，在數學領域中，猜想是合理的、值得尊重的，是負責任的態度。他認為，在有些情況下，教猜想比教證明更為重要。他說，如果在學習數學時還有數學發現方面的什么事情可以做的話，就必須使學生有個提問題的機會，在這些問題中他得在一定水平上，首先是猜想，然后是證實一個數學事實。然而普通教科書不提供那樣的機會。所以，在教學中當學生初步發現問題后，還要按照“問題→反復思索→聯想、頓悟→提出假說→驗證結論”這個數學猜想的思維模式進行教學。例如教師在學生初步發現問題的基礎上，可引導他們對上面的發現進行反復思索、分析概括，并由“圓周率”通過聯想、頓悟后提出有關“方圓率”的猜想：如果圓的直徑和正方形的邊長相等，那么圓面積占正方形面積的比是一個固定的數。

最后再啟發學生對這一猜想進行論證（直觀的驗證或邏輯的證明），使他們真正理解“方圓率”。

a設正方形的邊長為a，則面積為S[,正]＝a[2]；圓的半徑為─，則2a圓的面積為S[,圓]＝（─）[2]π。2aa[2]（─）[2]π──πS[,圓]24πS[,圓]π因為───＝──────＝────＝─，所以───＝─，證畢。S[,正]a[2]a[2]4S[,正]4

三、應用推廣

“讀書是學習，使用也是學習，而且是更重要的學習�！苯虒W中，當學生理解了所學的知識以后，教師還要引導他們將所學的東西用心消化，吸收到自己的知識系統中，吸收到學習者的整體智力結構中，使得這些知識能在更廣泛的情境中得到應用和擴展。例如學生理解了“方圓率”以后，可設計出以下不同層次的練習題啟發學生回答，這樣可深化他們對知識的理解與掌握，培養了創造能力。

1.基本訓練

已知右圖正方形面積是10平方厘米，求陰影部分面積。附圖{圖}

學生依據上面的規律，便可進行如下計算。附圖{圖}

2.變式訓練

（1）用硬紙做一個邊長為10厘米的正方形和一個直徑為10厘米的圓，再將圓剪成兩個半圓。

①引導學生用兩個半圓在正方形里擺各種圖形。如：附圖{圖}

②啟發學生討論，總結出求圖中陰影部分面積的方法：πS[,陰]＝S[,正]×（1－──）。

（2）用硬紙做一個邊長為10厘米的正方形和一個直徑為10厘米的1圓，再將圓剪成四個──圓。

①引導學生用四塊──圓在正方形內擺各種圖形，如：附圖{圖}

②啟發學生認真觀察，討論總結出求圖中陰影部分面積的方法：πS[,陰]＝S[,正]×（1－──）。

3.拓展訓練

（1）用硬紙做一個邊長為10厘米的正方形，并在正方形內畫一個最大的圓。

①把這個正方形平均分成兩等份（如圖），啟發學生討論總結出每份圖中陰影部分面積的求法：附圖{圖}

②把這個正方形平均分成四等份（如圖），啟發學生討論總結出每份圖中陰影部分面積的求法：附圖{圖}

（2）用硬紙做若干個邊長均為10厘米的正方形，并在每個正方形內畫一個最大的圓。

①用這些小正方形擺成一個大正方形（如圖），啟發學生討論總結出求圖中陰影部分面積的方法：附圖{圖}

②用這些小正方形擺成一個長方形（如圖），啟發學生總結出求圖中陰影部分面積的方法：附圖{圖}

多年的教改實踐結果顯示：結合教材和學生實際，按照人的認識進化過程或發生過程，采用“再創造”的教學模式進行教學，既有利于學生對知識的理解與掌握，又可使他們的形象思維、抽象思維和頓悟思維得到發展，在教學（學習）的全過程中學生還領悟到了創造科學的偉大智者們，在那條荊棘叢生的科學研究的道路上奮力攀登的風采，從而培養了他們的創造精神。
 

作者：劉庠 

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